Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел без Лопиталя
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19391
Страница 1 из 1

Автор:  Avgust [ 14 ноя 2012, 12:45 ]
Заголовок сообщения:  Предел без Лопиталя

Как найти?

[math]\lim \limits_{x \to 0}\, \bigg ( \frac{1}{x^2}-\frac{1}{\arcsin^2(x)} \bigg )[/math]

Автор:  neurocore [ 14 ноя 2012, 15:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел без Лопиталя

[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{{\arcsin }^2}x}}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\arcsin }^2}x - {x^2}}}{{{x^2}{{\arcsin }^2}x}} = \left| {\arcsin x = x + \frac{{{x^3}}}{6} + o({x^4})} \right| = \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(x + \frac{{{x^3}}}{6} + o({x^4}))}^2} - {x^2}}}{{{x^2}{{(x + \frac{{{x^3}}}{6} + o({x^4}))}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{x^6}}}{{36}} + \frac{{{x^4}}}{3} + o({x^5} + {x^7} + {x^8})}}{{{x^2}({x^2} + \frac{{{x^6}}}{{36}} + \frac{{{x^4}}}{3} + o({x^5} + {x^7} + {x^8}))}} = \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{x^6}}}{{36}} + \frac{{{x^4}}}{3} + o({x^5} + {x^7} + {x^8})}}{{{x^4} + \frac{{{x^8}}}{{36}} + \frac{{{x^6}}}{3} + o({x^7} + {x^9} + {x^{10}})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{1}{3} + o(x + {x^3} + {x^4})}}{{1 + \frac{{{x^4}}}{{36}} + \frac{{{x^2}}}{3} + o({x^3} + {x^5} + {x^6})}} = \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Даже лишнего взял в разложении..

Автор:  Avgust [ 14 ноя 2012, 15:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел без Лопиталя

Спасибо за труд!

В принципе я и делал через ряд Тэйлора:

[math]\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\arcsin^2(x)}\, \sim \,\frac 13 +\frac{x^2}{15}+...[/math]

но думал, что есть какой-то более простой и оригинальный метод.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/