Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить предел от рациональной дроби
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19317
Страница 1 из 1

Автор:  Vodichka [ 12 ноя 2012, 06:57 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить предел от рациональной дроби

Вычислить предел [math]\lim_{x \to a} \frac{ (x^{n} - a^{n}) - na^{n-1}(x-a) }{ (x-a)^{2} }[/math]

Я разложил разность n-ой степени и получил

[math]\frac{ x^{n-1} + x^{b-2} \times a + x^{n-3} \times a^{2} +\ldots + a^{n-1} - n \times a^{n-1} }{ x - a }[/math]
а как дальше?

Ответ: [math]\frac{ n \times (n-1) }{ 2 } \times a^{n-2}[/math]

ПС: Я представил(поскольку x-->a) [math]n \times ( x^{n-1} - a^{n-1} )[/math] и ещё раз разложив окончательно сократив знаменатель. В итоге получил ответ только без двойки в знаменателе.

Изображение

Автор:  Prokop [ 12 ноя 2012, 08:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: [(x^n - a^n) - n*a^(n-1)*(x-a)]/(x-a)^2 при x-->a

1. Можно использовать правило Лопиталя.
2. Можно, выполнив для удобства замену переменной [math]x = a + t[/math], при вычислении предела воспользоваться биномом Ньютона
[math]\left( {a + t} \right)^n = a^n + na^{n - 1} t + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}} {2}a^{n - 2} t^2 + O\left( {t^3 } \right)[/math]

Автор:  Avgust [ 12 ноя 2012, 16:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел от рациональной дроби

У меня методом индукции получилось такое:

[math]0,5n(n-1)a^{n-2}[/math]

Совпало с ответом!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/