| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вычислить пределы, применяя правило Лопиталя http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19277 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | orakullll [ 11 ноя 2012, 03:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Вычислить пределы, применяя правило Лопиталя |
Добрый день, помогите решить. Заранее очень благодарен
|
|
| Автор: | Andy [ 11 ноя 2012, 10:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить пределы, применяя правило Лопиталя |
orakullll В этом случае имеем неопределённость вида [math]{\infty}^0,[/math] которую можно устранить, предварительно вычислив предел от логарифма функции [math]y=(x+2^x)^{\frac{1}{x}}[/math]: [math]\lim\limits_{x \to 0} \ln y=\lim\limits_{x \to 0} \ln (x+2^x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (x+2^x)=\bigg[\frac{0}{0}\bigg]=\lim\limits_{x \to 0} \frac{(\ln(x+2^x))'}{x'}=[/math] [math]=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+2^x} \cdot (x+2^x)'}{1}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+2^x} \cdot (1+2^x \ln 2)}{1}=\frac{\frac{1}{1} \cdot (1+\ln 2)}{1}=1+\ln 2.[/math] Тогда [math]\ln \lim\limits_{x \to 0} y = \lim\limits_{x \to 0} \ln y=1+\ln 2,[/math] [math]\lim\limits_{x \to 0} (x+2^x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x \to 0} y=e^{1+\ln 2}=e^1 \cdot e^{\ln 2} =2e.[/math]
|
|
| Автор: | Human [ 11 ноя 2012, 11:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить пределы, применяя правило Лопиталя |
Здесь, кстати, и без Лопиталя можно посчитать [math]\lim_{x\to0}(x+2^x)^{\frac1x}=2\lim_{x\to0}\left(1+\frac x{2^x}\right)^{\frac{2^x}x\cdot\frac1{2^x}}=2e^{\lim\limits_{x\to0}\frac1{2^x}}=2e[/math] |
|
| Автор: | Andy [ 11 ноя 2012, 12:39 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить пределы, применяя правило Лопиталя |
Human Конечно, можно, но в задании прямо указано на необходимость применения именно этого правила.
|
|
| Автор: | orakullll [ 11 ноя 2012, 15:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить пределы, применяя правило Лопиталя |
спасибо, выручили очень благодарен
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|