Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить пределы, применяя правило Лопиталя
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19277
Страница 1 из 1

Автор:  orakullll [ 11 ноя 2012, 03:02 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить пределы, применяя правило Лопиталя

Добрый день, помогите решить.
Заранее очень благодарен
Изображение

Автор:  Andy [ 11 ноя 2012, 10:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить пределы, применяя правило Лопиталя

orakullll
В этом случае имеем неопределённость вида [math]{\infty}^0,[/math] которую можно устранить, предварительно вычислив предел от логарифма функции [math]y=(x+2^x)^{\frac{1}{x}}[/math]:
[math]\lim\limits_{x \to 0} \ln y=\lim\limits_{x \to 0} \ln (x+2^x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (x+2^x)=\bigg[\frac{0}{0}\bigg]=\lim\limits_{x \to 0} \frac{(\ln(x+2^x))'}{x'}=[/math]

[math]=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+2^x} \cdot (x+2^x)'}{1}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+2^x} \cdot (1+2^x \ln 2)}{1}=\frac{\frac{1}{1} \cdot (1+\ln 2)}{1}=1+\ln 2.[/math]


Тогда
[math]\ln \lim\limits_{x \to 0} y = \lim\limits_{x \to 0} \ln y=1+\ln 2,[/math]

[math]\lim\limits_{x \to 0} (x+2^x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x \to 0} y=e^{1+\ln 2}=e^1 \cdot e^{\ln 2} =2e.[/math]

Автор:  Human [ 11 ноя 2012, 11:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить пределы, применяя правило Лопиталя

Здесь, кстати, и без Лопиталя можно посчитать

[math]\lim_{x\to0}(x+2^x)^{\frac1x}=2\lim_{x\to0}\left(1+\frac x{2^x}\right)^{\frac{2^x}x\cdot\frac1{2^x}}=2e^{\lim\limits_{x\to0}\frac1{2^x}}=2e[/math]

Автор:  Andy [ 11 ноя 2012, 12:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить пределы, применяя правило Лопиталя

Human
Конечно, можно, но в задании прямо указано на необходимость применения именно этого правила. :)

Автор:  orakullll [ 11 ноя 2012, 15:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить пределы, применяя правило Лопиталя

спасибо, выручили очень благодарен :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/