Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

3 примера на пределы и на производную(на одном листе)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19194
Страница 1 из 1

Автор:  Antoshka [ 07 ноя 2012, 19:13 ]
Заголовок сообщения:  3 примера на пределы и на производную(на одном листе)

Изображение


Помогите пожалуйста,завтра к.р. переписывать и я не совсем уверен,что напишу(
Могут быть задания такого типа, очень хочу понять как их решать.Все выходные просидел за учебником высшей математики,а решить толком ничего не получается. Особых проблем не возникает только со 2ым номером)

P.S.Необходимо решить пределы, не использую правило Лопиталя.Заранее большое спасибо всем, кто откликнулся!

Автор:  Andy [ 08 ноя 2012, 11:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: 3 примера на пределы и на производную(на одном листе)

Antoshka
1. Положим [math]x-3=u.[/math] Тогда при [math]u \to 0[/math] имеет место эквивалентность [math]\tan u \sim u,[/math] и
[math]\lim_{x \to 3} \frac{2\tan \pi x}{x-3}=\lim_{u \to 0} \frac{2\tan (\pi(u+3))}{u}=2\lim_{u \to 0} \frac{\tan(u\pi+3\pi)}{u}=[/math]

[math]=2\lim_{u \to 0} \frac{\frac{\tan u\pi + \tan 3\pi}{1-\tan u\pi \tan 3\pi}}{u}=2\lim_{u \to 0} \frac{\frac{u\pi+0}{1-u\pi \cdot 0}}{u}=2\lim_{u \to 0} \frac{u\pi}{u}=2\lim_{u \to 0} \pi=2\pi.[/math]

Автор:  Andy [ 08 ноя 2012, 12:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: 3 примера на пределы и на производную(на одном листе)

Antoshka
2. Положим [math]y=\sqrt[3]{x}.[/math] Тогда
[math]\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x^2-64}=\lim_{y \to 2} \frac{y-2}{y^6-2^6}=[/math]

[math]=\lim_{y \to 2} \frac{y-2}{(y-2)(y^5+2y^4+4y^3+8y^2+16y+32)}=[/math]

[math]=\lim_{y \to 2} \frac{1}{y^5+2y^4+4y^3+8y^2+16y+32}=\frac{1}{192}.[/math]

Автор:  Yurik [ 08 ноя 2012, 12:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: 3 примера на пределы и на производную(на одном листе)

[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{tg5x}}{{\ln \left( {1 - 2x} \right)}} = \left| \begin{gathered} tg5x\,\,\, \sim \,\,\,5x \hfill \\ \ln \left( {1 - 2x} \right)5x\,\,\, \sim \,\,\, - 2x \hfill \\ \end{gathered} \right| = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5x}}{{2x}} = - \frac{5}{2}[/math]


[math]\begin{gathered} 6.\,\,y = x\ln x \hfill \\ y' = \ln x + 1 \hfill \\ y'' = \frac{1}{x} \hfill \\
\end{gathered}[/math]



[math]\begin{gathered} y = {\left( {\cos x + 3} \right)^{\ln x}}\,\,\,\,\, = > \,\,\,\,\ln y = \ln x\ln \left( {\cos x + 3} \right) \hfill \\ \frac{{y'}}{y} = \frac{{\ln \left( {\cos x + 3} \right)}}{x} + \frac{{\ln x \cdot \left( { - \sin x} \right)}}{{\cos x + 3}} \hfill \\ y' = \left( {\frac{{\ln \left( {\cos x + 3} \right)}}{x} - \frac{{\ln x \cdot \sin x}}{{\cos x + 3}}} \right) \cdot {\left( {\cos x + 3} \right)^{\ln x}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  Andy [ 08 ноя 2012, 12:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: 3 примера на пределы и на производную(на одном листе)

Antoshka
3. Положим [math]u=-2x.[/math] Тогда
[math]\lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{\ln (1-2x)}=\lim_{u \to 0} \frac{\tan \bigg(-\frac{5}{2}u\bigg)}{\ln (1+u)}=\lim_{u \to 0} \frac{-\frac{5}{2}u}{u}=[/math]

[math]=\lim_{u \to 0} \bigg(-\frac{5}{2}\bigg)=-\frac{5}{2}.[/math]

Здесь мы воспользовались тем, что при [math]u \to 0[/math] имеют место эквивалентности [math]\tan u \sim u,~\ln (1+u) \sim u.[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/