| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| 3 примера на пределы и на производную(на одном листе) http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19194 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Andy [ 08 ноя 2012, 11:45 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: 3 примера на пределы и на производную(на одном листе) |
Antoshka 1. Положим [math]x-3=u.[/math] Тогда при [math]u \to 0[/math] имеет место эквивалентность [math]\tan u \sim u,[/math] и [math]\lim_{x \to 3} \frac{2\tan \pi x}{x-3}=\lim_{u \to 0} \frac{2\tan (\pi(u+3))}{u}=2\lim_{u \to 0} \frac{\tan(u\pi+3\pi)}{u}=[/math] [math]=2\lim_{u \to 0} \frac{\frac{\tan u\pi + \tan 3\pi}{1-\tan u\pi \tan 3\pi}}{u}=2\lim_{u \to 0} \frac{\frac{u\pi+0}{1-u\pi \cdot 0}}{u}=2\lim_{u \to 0} \frac{u\pi}{u}=2\lim_{u \to 0} \pi=2\pi.[/math]
|
|
| Автор: | Andy [ 08 ноя 2012, 12:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: 3 примера на пределы и на производную(на одном листе) |
Antoshka 2. Положим [math]y=\sqrt[3]{x}.[/math] Тогда [math]\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x^2-64}=\lim_{y \to 2} \frac{y-2}{y^6-2^6}=[/math] [math]=\lim_{y \to 2} \frac{y-2}{(y-2)(y^5+2y^4+4y^3+8y^2+16y+32)}=[/math] [math]=\lim_{y \to 2} \frac{1}{y^5+2y^4+4y^3+8y^2+16y+32}=\frac{1}{192}.[/math]
|
|
| Автор: | Yurik [ 08 ноя 2012, 12:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: 3 примера на пределы и на производную(на одном листе) |
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{tg5x}}{{\ln \left( {1 - 2x} \right)}} = \left| \begin{gathered} tg5x\,\,\, \sim \,\,\,5x \hfill \\ \ln \left( {1 - 2x} \right)5x\,\,\, \sim \,\,\, - 2x \hfill \\ \end{gathered} \right| = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5x}}{{2x}} = - \frac{5}{2}[/math] [math]\begin{gathered} 6.\,\,y = x\ln x \hfill \\ y' = \ln x + 1 \hfill \\ y'' = \frac{1}{x} \hfill \\ \end{gathered}[/math] [math]\begin{gathered} y = {\left( {\cos x + 3} \right)^{\ln x}}\,\,\,\,\, = > \,\,\,\,\ln y = \ln x\ln \left( {\cos x + 3} \right) \hfill \\ \frac{{y'}}{y} = \frac{{\ln \left( {\cos x + 3} \right)}}{x} + \frac{{\ln x \cdot \left( { - \sin x} \right)}}{{\cos x + 3}} \hfill \\ y' = \left( {\frac{{\ln \left( {\cos x + 3} \right)}}{x} - \frac{{\ln x \cdot \sin x}}{{\cos x + 3}}} \right) \cdot {\left( {\cos x + 3} \right)^{\ln x}} \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
|
| Автор: | Andy [ 08 ноя 2012, 12:31 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: 3 примера на пределы и на производную(на одном листе) |
Antoshka 3. Положим [math]u=-2x.[/math] Тогда [math]\lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{\ln (1-2x)}=\lim_{u \to 0} \frac{\tan \bigg(-\frac{5}{2}u\bigg)}{\ln (1+u)}=\lim_{u \to 0} \frac{-\frac{5}{2}u}{u}=[/math] [math]=\lim_{u \to 0} \bigg(-\frac{5}{2}\bigg)=-\frac{5}{2}.[/math] Здесь мы воспользовались тем, что при [math]u \to 0[/math] имеют место эквивалентности [math]\tan u \sim u,~\ln (1+u) \sim u.[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|