Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследование функции и построение графика
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19117
Страница 1 из 1

Автор:  Epselon [ 04 ноя 2012, 13:26 ]
Заголовок сообщения:  Исследование функции и построение графика

Необходимо исследовать функцию и построить её график.

У меня вопрос по трём последним пунктам (экстремумы,точки перегиба и наклонные(горизонтальные асимптоты).

1)У меня получилось,что y=0 - горизонтальная асимптота. Но график пересекает y=0.
2)У меня получились точки возможного экстремума x=2 x=4.
При этом при исследовании знак производной на интервалах, на которые критические точки делят области определения функции знаки получилось везде отрицательные, т.е. функция везде убывает,хотя на графике это не так.
3) Что касается интервалов выпуклости/вогнутости,то получилось функция выпукла на интервалах (−∞;2) , (5;+∞) ,и вогнута на интервале (2;5). На графике это тоже непонятно.

График построен здесь
http://www.yotx.ru/Graph.ashx?clr0=0000 ... 8%28x-2%29^2%29&mix=-10&max=10&asx=on&u=mm&nx=&miy=-10&may=10&asy=on&ny=&iw=600&ih=400&ict=png

Вложения:
1.doc [73 Кб]
Скачиваний: 81

Автор:  mad_math [ 04 ноя 2012, 16:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование функции и построение графика

Epselon
Вы бы хоть уравнение функции в сообщении написали, а то качать ваши файлики никакого желания нет.

Автор:  Epselon [ 04 ноя 2012, 17:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование функции и построение графика

Необходимо исследовать функцию и построить её график.

У меня вопрос по трём последним пунктам (экстремумы,точки перегиба и наклонные(горизонтальные асимптоты).

1)У меня получилось,что y=0 - горизонтальная асимптота. Но график пересекает y=0.
2)У меня получились точки возможного экстремума x=2 x=4.
При этом при исследовании знак производной на интервалах, на которые критические точки делят области определения функции знаки получилось везде отрицательные, т.е. функция везде убывает,хотя на графике это не так.
3) Что касается интервалов выпуклости/вогнутости,то получилось функция выпукла на интервалах (−∞;2) , (5;+∞) ,и вогнута на интервале (2;5). На графике это тоже непонятно.


1) Область определения функции:
[math]y = \frac{{4x - 12}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}[/math]
[math]x \ne 2\,\,D(y) = \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)[/math]
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to {2_{ \pm 0}}} \frac{{4x - 12}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{ - 4}}{{ + 0}} = - \infty .[/math]
[math]\to x = 2 - \,[/math] вертикальная асимптота.
2) Точки пересечения с осями координат.
[math]Ox^\frac{{4x - 12}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0 \to x = 3 \to[/math] точка (3:0)
[math]Oy^y = \frac{{4 \times 0 - 12}}{{{{\left( {0 - 2} \right)}^2}}} = - 3 \to[/math] точка (0:-3)
3) Четность/нечетность функции.
[math]y( - x) = \frac{{4( - x) - 12}}{{{{( - x - 2)}^2}}} = - \frac{{4x + 12}}{{{{( - x - 2)}^2}}} \to[/math] функция общего вида.
4) Функция не является периодической.
5) Экстремумы и монотонность. Вычислим первую производную:
[math]y' = {\left( {\frac{{4x - 12}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right)^'} = \frac{{4{{(x - 2)}^2} - 2\left( {4x - 12} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}} = \frac{{16 - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}.[/math]
Находим критические точки: x=2;x=4.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения функции.

6) Выпусклость и точки перегиба.
[math]\left( {\frac{{16 - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}} \right) = \frac{{ - 4{{(x - 2)}^3} - 3(16 - 4x){{(x - 2)}^2}}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^6}}} = \frac{{8x - 40}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}}[/math]
Приравниваем к нулю и находим критические точки: x = 2, x =5.
Так как при переходе через эти точки y''(x) меняет знак, то точка х=5 является точкой перегиба, при этом функция выпукла на интервалах (−∞;2) , (5;+∞) ,и вогнута на интервале (2;5).
7) Наклонные/горизонтальные асимптоты.
Наклонные асимптоты вида y=kx+b .
[math]k = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4x - 12}}{{x{{(x - 12)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4x - 12}}{{{x^3} - 24{x^2} + 144x}} = \left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{4}{{{x^2}}} - \frac{{12}}{{{x^3}}}}}{{1 - \frac{{24}}{x} + \frac{{144}}{{{x^2}}}}} = 0;[/math]

[math]b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {y - kx} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{4x - 12}}{{{{(x - 12)}^2}}} - 0} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4x - 12}}{{{x^2} - 24x + 144}} = \left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{4}{x} - \frac{{12}}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{{24}}{x} + \frac{{144}}{{{x^2}}}}} = 0[/math]

[math]\to y = 0 -[/math] горизонтальная асимптота.

Сам график -http://www.yotx.ru/Graph.ashx?clr0=000000&exp0=y%3D(4*x-12)%2F((x-2)%5E2)&mix=-10&max=10&asx=on&u=mm&nx=x&miy=-10&may=10&asy=on&ny=y&iw=600&ih=400&ict=jpeg&aa=on

Автор:  mad_math [ 04 ноя 2012, 18:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование функции и построение графика

Epselon писал(а):
У меня получилось,что y=0 - горизонтальная асимптота. Но график пересекает y=0.
Это вполне возможно. Просто у вас функция стремится к y=0 и сверху, и снизу, поэтому пределы нужно было искать при [math]x\to+\infty[/math] и при [math]x\to-\infty[/math] отдельно.

Epselon писал(а):
При этом при исследовании знак производной на интервалах, на которые критические точки делят области определения функции знаки получилось везде отрицательные, т.е. функция везде убывает,хотя на графике это не так.
На интервале [math]2<x<4[/math] производная положительна, [math](4,1)[/math] - точка максимума.

Epselon писал(а):
и вогнута на интервале (2;5).
Нет. Функция вогнута на интервале [math](5;+\infty)[/math] и выпукла на двух остальных. Точка [math]\left(5;\frac{8}{9}\right)[/math] - точка перегиба.

Автор:  Epselon [ 04 ноя 2012, 18:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование функции и построение графика

mad_math писал(а):
Epselon писал(а):
У меня получилось,что y=0 - горизонтальная асимптота. Но график пересекает y=0.
Это вполне возможно. Просто у вас функция стремится к y=0 и сверху, и снизу, поэтому пределы нужно было искать при [math]x\to+\infty[/math] и при [math]x\to-\infty[/math] отдельно.


при [math]x\to+\infty[/math] предел будет равен +0, fи при [math]x\to-\infty[/math] получится -0,верно?

Автор:  mad_math [ 04 ноя 2012, 19:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование функции и построение графика

Epselon писал(а):
при [math]x\to+\infty[/math] предел будет равен +0, fи при [math]x\to-\infty[/math] получится -0,верно?
Что-то вроде этого, правда так обычно не пишут :)

Автор:  Epselon [ 04 ноя 2012, 19:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование функции и построение графика

mad_math писал(а):
Epselon писал(а):
при [math]x\to+\infty[/math] предел будет равен +0, fи при [math]x\to-\infty[/math] получится -0,верно?
Что-то вроде этого, правда так обычно не пишут :)


просто ноль написать,а это как-бы подразумевать?

Автор:  mad_math [ 04 ноя 2012, 19:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование функции и построение графика

Epselon писал(а):
просто ноль написать,а это как-бы подразумевать?
Да.

Автор:  annann [ 11 ноя 2012, 12:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование функции и построение графика

Помогите исследовать функцию,очень надо :
y=x*e^(x-1)^2

Автор:  Alexdemath [ 11 ноя 2012, 14:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование функции и построение графика

annann

Создайте свою тему и напишите, по каким пунктам нужно исследовать функцию.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/