Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| Epselon |
|
||
|
У меня вопрос по трём последним пунктам (экстремумы,точки перегиба и наклонные(горизонтальные асимптоты). 1)У меня получилось,что y=0 - горизонтальная асимптота. Но график пересекает y=0. 2)У меня получились точки возможного экстремума x=2 x=4. При этом при исследовании знак производной на интервалах, на которые критические точки делят области определения функции знаки получилось везде отрицательные, т.е. функция везде убывает,хотя на графике это не так. 3) Что касается интервалов выпуклости/вогнутости,то получилось функция выпукла на интервалах (−∞;2) , (5;+∞) ,и вогнута на интервале (2;5). На графике это тоже непонятно. График построен здесь http://www.yotx.ru/Graph.ashx?clr0=0000 ... 8%28x-2%29^2%29&mix=-10&max=10&asx=on&u=mm&nx=&miy=-10&may=10&asy=on&ny=&iw=600&ih=400&ict=png
|
|||
| Вернуться к началу | |||
| mad_math |
|
|
|
Epselon
Вы бы хоть уравнение функции в сообщении написали, а то качать ваши файлики никакого желания нет. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Epselon |
|
|
|
Необходимо исследовать функцию и построить её график.
У меня вопрос по трём последним пунктам (экстремумы,точки перегиба и наклонные(горизонтальные асимптоты). 1)У меня получилось,что y=0 - горизонтальная асимптота. Но график пересекает y=0. 2)У меня получились точки возможного экстремума x=2 x=4. При этом при исследовании знак производной на интервалах, на которые критические точки делят области определения функции знаки получилось везде отрицательные, т.е. функция везде убывает,хотя на графике это не так. 3) Что касается интервалов выпуклости/вогнутости,то получилось функция выпукла на интервалах (−∞;2) , (5;+∞) ,и вогнута на интервале (2;5). На графике это тоже непонятно. 1) Область определения функции: [math]y = \frac{{4x - 12}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}[/math] [math]x \ne 2\,\,D(y) = \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)[/math] [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to {2_{ \pm 0}}} \frac{{4x - 12}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{ - 4}}{{ + 0}} = - \infty .[/math] [math]\to x = 2 - \,[/math] вертикальная асимптота. 2) Точки пересечения с осями координат. [math]Ox^\frac{{4x - 12}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0 \to x = 3 \to[/math] точка (3:0) [math]Oy^y = \frac{{4 \times 0 - 12}}{{{{\left( {0 - 2} \right)}^2}}} = - 3 \to[/math] точка (0:-3) 3) Четность/нечетность функции. [math]y( - x) = \frac{{4( - x) - 12}}{{{{( - x - 2)}^2}}} = - \frac{{4x + 12}}{{{{( - x - 2)}^2}}} \to[/math] функция общего вида. 4) Функция не является периодической. 5) Экстремумы и монотонность. Вычислим первую производную: [math]y' = {\left( {\frac{{4x - 12}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right)^'} = \frac{{4{{(x - 2)}^2} - 2\left( {4x - 12} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}} = \frac{{16 - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}.[/math] Находим критические точки: x=2;x=4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения функции. 6) Выпусклость и точки перегиба. [math]\left( {\frac{{16 - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}} \right) = \frac{{ - 4{{(x - 2)}^3} - 3(16 - 4x){{(x - 2)}^2}}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^6}}} = \frac{{8x - 40}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}}[/math] Приравниваем к нулю и находим критические точки: x = 2, x =5. Так как при переходе через эти точки y''(x) меняет знак, то точка х=5 является точкой перегиба, при этом функция выпукла на интервалах (−∞;2) , (5;+∞) ,и вогнута на интервале (2;5). 7) Наклонные/горизонтальные асимптоты. Наклонные асимптоты вида y=kx+b . [math]k = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4x - 12}}{{x{{(x - 12)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4x - 12}}{{{x^3} - 24{x^2} + 144x}} = \left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{4}{{{x^2}}} - \frac{{12}}{{{x^3}}}}}{{1 - \frac{{24}}{x} + \frac{{144}}{{{x^2}}}}} = 0;[/math] [math]b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {y - kx} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{4x - 12}}{{{{(x - 12)}^2}}} - 0} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4x - 12}}{{{x^2} - 24x + 144}} = \left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{4}{x} - \frac{{12}}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{{24}}{x} + \frac{{144}}{{{x^2}}}}} = 0[/math] [math]\to y = 0 -[/math] горизонтальная асимптота. Сам график -http://www.yotx.ru/Graph.ashx?clr0=000000&exp0=y%3D(4*x-12)%2F((x-2)%5E2)&mix=-10&max=10&asx=on&u=mm&nx=x&miy=-10&may=10&asy=on&ny=y&iw=600&ih=400&ict=jpeg&aa=on Последний раз редактировалось Epselon 04 ноя 2012, 18:12, всего редактировалось 3 раз(а). |
||
| Вернуться к началу | ||
| mad_math |
|
|
|
Epselon писал(а): У меня получилось,что y=0 - горизонтальная асимптота. Но график пересекает y=0. Это вполне возможно. Просто у вас функция стремится к y=0 и сверху, и снизу, поэтому пределы нужно было искать при [math]x\to+\infty[/math] и при [math]x\to-\infty[/math] отдельно.Epselon писал(а): При этом при исследовании знак производной на интервалах, на которые критические точки делят области определения функции знаки получилось везде отрицательные, т.е. функция везде убывает,хотя на графике это не так. На интервале [math]2<x<4[/math] производная положительна, [math](4,1)[/math] - точка максимума.Epselon писал(а): и вогнута на интервале (2;5). Нет. Функция вогнута на интервале [math](5;+\infty)[/math] и выпукла на двух остальных. Точка [math]\left(5;\frac{8}{9}\right)[/math] - точка перегиба. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Epselon |
|
|
|
mad_math писал(а): Epselon писал(а): У меня получилось,что y=0 - горизонтальная асимптота. Но график пересекает y=0. Это вполне возможно. Просто у вас функция стремится к y=0 и сверху, и снизу, поэтому пределы нужно было искать при [math]x\to+\infty[/math] и при [math]x\to-\infty[/math] отдельно.при [math]x\to+\infty[/math] предел будет равен +0, fи при [math]x\to-\infty[/math] получится -0,верно? |
||
| Вернуться к началу | ||
| mad_math |
|
|
|
Epselon писал(а): при [math]x\to+\infty[/math] предел будет равен +0, fи при [math]x\to-\infty[/math] получится -0,верно? Что-то вроде этого, правда так обычно не пишут ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| Epselon |
|
|
|
mad_math писал(а): Epselon писал(а): при [math]x\to+\infty[/math] предел будет равен +0, fи при [math]x\to-\infty[/math] получится -0,верно? Что-то вроде этого, правда так обычно не пишут ![]() просто ноль написать,а это как-бы подразумевать? |
||
| Вернуться к началу | ||
| mad_math |
|
|
|
Epselon писал(а): просто ноль написать,а это как-бы подразумевать? Да. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали: Epselon |
||
| annann |
|
|
|
Помогите исследовать функцию,очень надо :
y=x*e^(x-1)^2 |
||
| Вернуться к началу | ||
| Alexdemath |
|
|
|
annann
Создайте свою тему и напишите, по каким пунктам нужно исследовать функцию. |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 10 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |