Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Исследование функции и построение графика
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2012, 13:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 ноя 2012, 03:47
Сообщений: 23
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Необходимо исследовать функцию и построить её график.

У меня вопрос по трём последним пунктам (экстремумы,точки перегиба и наклонные(горизонтальные асимптоты).

1)У меня получилось,что y=0 - горизонтальная асимптота. Но график пересекает y=0.
2)У меня получились точки возможного экстремума x=2 x=4.
При этом при исследовании знак производной на интервалах, на которые критические точки делят области определения функции знаки получилось везде отрицательные, т.е. функция везде убывает,хотя на графике это не так.
3) Что касается интервалов выпуклости/вогнутости,то получилось функция выпукла на интервалах (−∞;2) , (5;+∞) ,и вогнута на интервале (2;5). На графике это тоже непонятно.

График построен здесь
http://www.yotx.ru/Graph.ashx?clr0=0000 ... 8%28x-2%29^2%29&mix=-10&max=10&asx=on&u=mm&nx=&miy=-10&may=10&asy=on&ny=&iw=600&ih=400&ict=png

Вложения:
1.doc [73 Кб]
Скачиваний: 81
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование функции и построение графика
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2012, 16:09 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Epselon
Вы бы хоть уравнение функции в сообщении написали, а то качать ваши файлики никакого желания нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование функции и построение графика
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2012, 17:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 ноя 2012, 03:47
Сообщений: 23
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Необходимо исследовать функцию и построить её график.

У меня вопрос по трём последним пунктам (экстремумы,точки перегиба и наклонные(горизонтальные асимптоты).

1)У меня получилось,что y=0 - горизонтальная асимптота. Но график пересекает y=0.
2)У меня получились точки возможного экстремума x=2 x=4.
При этом при исследовании знак производной на интервалах, на которые критические точки делят области определения функции знаки получилось везде отрицательные, т.е. функция везде убывает,хотя на графике это не так.
3) Что касается интервалов выпуклости/вогнутости,то получилось функция выпукла на интервалах (−∞;2) , (5;+∞) ,и вогнута на интервале (2;5). На графике это тоже непонятно.


1) Область определения функции:
[math]y = \frac{{4x - 12}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}[/math]
[math]x \ne 2\,\,D(y) = \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)[/math]
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to {2_{ \pm 0}}} \frac{{4x - 12}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{ - 4}}{{ + 0}} = - \infty .[/math]
[math]\to x = 2 - \,[/math] вертикальная асимптота.
2) Точки пересечения с осями координат.
[math]Ox^\frac{{4x - 12}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0 \to x = 3 \to[/math] точка (3:0)
[math]Oy^y = \frac{{4 \times 0 - 12}}{{{{\left( {0 - 2} \right)}^2}}} = - 3 \to[/math] точка (0:-3)
3) Четность/нечетность функции.
[math]y( - x) = \frac{{4( - x) - 12}}{{{{( - x - 2)}^2}}} = - \frac{{4x + 12}}{{{{( - x - 2)}^2}}} \to[/math] функция общего вида.
4) Функция не является периодической.
5) Экстремумы и монотонность. Вычислим первую производную:
[math]y' = {\left( {\frac{{4x - 12}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right)^'} = \frac{{4{{(x - 2)}^2} - 2\left( {4x - 12} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}} = \frac{{16 - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}.[/math]
Находим критические точки: x=2;x=4.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения функции.

6) Выпусклость и точки перегиба.
[math]\left( {\frac{{16 - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}} \right) = \frac{{ - 4{{(x - 2)}^3} - 3(16 - 4x){{(x - 2)}^2}}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^6}}} = \frac{{8x - 40}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}}[/math]
Приравниваем к нулю и находим критические точки: x = 2, x =5.
Так как при переходе через эти точки y''(x) меняет знак, то точка х=5 является точкой перегиба, при этом функция выпукла на интервалах (−∞;2) , (5;+∞) ,и вогнута на интервале (2;5).
7) Наклонные/горизонтальные асимптоты.
Наклонные асимптоты вида y=kx+b .
[math]k = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4x - 12}}{{x{{(x - 12)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4x - 12}}{{{x^3} - 24{x^2} + 144x}} = \left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{4}{{{x^2}}} - \frac{{12}}{{{x^3}}}}}{{1 - \frac{{24}}{x} + \frac{{144}}{{{x^2}}}}} = 0;[/math]

[math]b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {y - kx} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{4x - 12}}{{{{(x - 12)}^2}}} - 0} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4x - 12}}{{{x^2} - 24x + 144}} = \left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{4}{x} - \frac{{12}}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{{24}}{x} + \frac{{144}}{{{x^2}}}}} = 0[/math]

[math]\to y = 0 -[/math] горизонтальная асимптота.

Сам график -http://www.yotx.ru/Graph.ashx?clr0=000000&exp0=y%3D(4*x-12)%2F((x-2)%5E2)&mix=-10&max=10&asx=on&u=mm&nx=x&miy=-10&may=10&asy=on&ny=y&iw=600&ih=400&ict=jpeg&aa=on


Последний раз редактировалось Epselon 04 ноя 2012, 18:12, всего редактировалось 3 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование функции и построение графика
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2012, 18:25 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Epselon писал(а):
У меня получилось,что y=0 - горизонтальная асимптота. Но график пересекает y=0.
Это вполне возможно. Просто у вас функция стремится к y=0 и сверху, и снизу, поэтому пределы нужно было искать при [math]x\to+\infty[/math] и при [math]x\to-\infty[/math] отдельно.

Epselon писал(а):
При этом при исследовании знак производной на интервалах, на которые критические точки делят области определения функции знаки получилось везде отрицательные, т.е. функция везде убывает,хотя на графике это не так.
На интервале [math]2<x<4[/math] производная положительна, [math](4,1)[/math] - точка максимума.

Epselon писал(а):
и вогнута на интервале (2;5).
Нет. Функция вогнута на интервале [math](5;+\infty)[/math] и выпукла на двух остальных. Точка [math]\left(5;\frac{8}{9}\right)[/math] - точка перегиба.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование функции и построение графика
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2012, 18:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 ноя 2012, 03:47
Сообщений: 23
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
Epselon писал(а):
У меня получилось,что y=0 - горизонтальная асимптота. Но график пересекает y=0.
Это вполне возможно. Просто у вас функция стремится к y=0 и сверху, и снизу, поэтому пределы нужно было искать при [math]x\to+\infty[/math] и при [math]x\to-\infty[/math] отдельно.


при [math]x\to+\infty[/math] предел будет равен +0, fи при [math]x\to-\infty[/math] получится -0,верно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование функции и построение графика
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2012, 19:07 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Epselon писал(а):
при [math]x\to+\infty[/math] предел будет равен +0, fи при [math]x\to-\infty[/math] получится -0,верно?
Что-то вроде этого, правда так обычно не пишут :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование функции и построение графика
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2012, 19:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 ноя 2012, 03:47
Сообщений: 23
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
Epselon писал(а):
при [math]x\to+\infty[/math] предел будет равен +0, fи при [math]x\to-\infty[/math] получится -0,верно?
Что-то вроде этого, правда так обычно не пишут :)


просто ноль написать,а это как-бы подразумевать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование функции и построение графика
СообщениеДобавлено: 04 ноя 2012, 19:56 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Epselon писал(а):
просто ноль написать,а это как-бы подразумевать?
Да.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Epselon
 Заголовок сообщения: Re: Исследование функции и построение графика
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2012, 12:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 ноя 2012, 12:49
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите исследовать функцию,очень надо :
y=x*e^(x-1)^2

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование функции и построение графика
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2012, 14:34 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
annann

Создайте свою тему и напишите, по каким пунктам нужно исследовать функцию.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследование функции и построение графика

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

SheLdeR_856

1

390

02 май 2018, 20:56

Исследование функции и построение графика

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

AnastasyaShved

1

329

13 дек 2015, 17:50

Исследование графика и его построение

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

kill_FF

3

367

20 дек 2014, 00:38

Исследование га непрерывность и построение графика функциии

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

shellyshneider

0

189

03 дек 2017, 16:39

Построение графика функции

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

daria596

5

518

21 янв 2017, 12:30

Обратные функции, построение графика

в форуме Тригонометрия

351w

25

1211

06 апр 2018, 12:48

Построение графика функции, заданной параметрический

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Zqquiet

10

520

06 мар 2021, 14:22

Построение графика экспоненциальной функции в тетради

в форуме Алгебра

Kriteriy Silvestra

2

152

05 сен 2020, 19:34

Построение графика функции, заданной параметрический

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Zqquiet

5

400

17 апр 2021, 20:33

Исследование графика функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

boooo1

5

275

14 дек 2020, 20:43


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved