Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследовать на сходимость последовательность аn
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=18992
Страница 1 из 1

Автор:  Vest [ 29 окт 2012, 16:45 ]
Заголовок сообщения:  Исследовать на сходимость последовательность аn

Помогите пожалуйста решить задание 2.
Изображение

Автор:  Human [ 29 окт 2012, 17:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость последовательность аn

Докажите, что, начиная с некоторого номера [math]n_0[/math], [math]|a_n|<\frac C n[/math], где [math]C[/math] - некоторая константа. Тогда для каждого [math]\varepsilon>0[/math] в качестве [math]N_{\varepsilon}[/math] можно будет взять максимальное из чисел [math]n_0[/math] и [math]\left[\frac C{\varepsilon}\right]+1[/math].

Автор:  Human [ 29 окт 2012, 18:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость последовательность аn

Вообще, странно, что Вас просят это сделать через определение. У Вас разве теоремы "о двух милиционерах" не было? Тогда для доказательства сходимости к нулю было бы достаточно только вывода указанного мною выше неравенства, поскольку, как известно, [math]\frac1n[/math] сходится к нулю.

Кстати, учитывая переформирование милиции в полицию, может стоит и название этой теоремы поменять? :D1

Кроме того, есть теорема, утверждающая, что если последовательность можно разбить на некоторое число попарно непересекающихся (то есть не имеющих общих членов исходной последовательности) подпоследовательностей, стремящихся к одному и тому же пределу, то и сама последовательность будет туда же стремиться. В данном случае можно рассмотреть чётную и нечётную подпоследовательности (косинус, соответственно, будет равен 1 и -1), и сразу видно, что обе эти подпоследовательности сходятся к нулю. Значит [math]a_n[/math] сходится к нулю.

Оба этих способа намного более удобны на практике, чем само определение.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/