| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Пределы, функции http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=18863 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Alexdemath [ 24 окт 2012, 13:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Пределы, функции |
TatianaSuvorova, в третьем, если нельзя использовать эквивалентные, то дополните числитель и знаменатель до сумм кубов, так как [math]{\color{red}\boxed{{\color{black}a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^3)}}}[/math] [math]\begin{aligned} \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\sqrt[3]{{1 + 2x}} + 1}}{{\sqrt[3]{{2 + x}} + x}} &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{[{{(1 + 2x)}^{1|3}} + 1][{{(1 + 2x)}^{2|3}} - {{(1 + 2x)}^{1|3}} + 1][{{(2 + x)}^{2|3}} - {{(2 + x)}^{1|3}}x + {x^2}]}}{{[{{(2 + x)}^{1|3}} + x][{{(2 + x)}^{2|3}} - {{(2 + x)}^{1|3}}x + {x^2}][{{(1 + 2x)}^{2|3}} - {{(1 + 2x)}^{1|3}} + 1]}} = \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{(1 + 2x + 1)[{{(2 + x)}^{2|3}} - {{(2 + x)}^{1|3}}x + {x^2}]}}{{(2 + x + {x^3})[{{(1 + 2x)}^{2|3}} - {{(1 + 2x)}^{1|3}} + 1]}} = \\ &= 2\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{(x + 1)[{{(2 + x)}^{2|3}} - {{(2 + x)}^{1|3}}x + {x^2}]}}{{({x^3} + 1 + x + 1)[{{(1 + 2x)}^{2|3}} - {{(1 + 2x)}^{1|3}} + 1]}} = \\ &\boxed{x^3+ 1 + x + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) + x + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 2)} \\ &= 2\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{{(2 + x)}^{2|3}} - {{(2 + x)}^{1|3}}x + {x^2}}}{{({x^2} - x + 2)[{{(1 + 2x)}^{2|3}} - {{(1 + 2x)}^{1|3}} + 1]}} = \\ &= 2 \cdot \frac{{{{(2 - 1)}^{2|3}} - {{(2 - 1)}^{1|3}}( - 1) + {{( - 1)}^2}}}{{[{{( - 1)}^2} - ( - 1) + 2][{{(1 + 2( - 1))}^{2|3}} - {{(1 + 2( - 1))}^{1|3}} + 1]}} = \\ &= 2 \cdot \frac{{1 + 1 + 1}}{{(1 + 1 + 2)(1 + 1 + 1)}} = \frac{1}{2}\end{aligned}[/math] |
|
| Автор: | Alexdemath [ 24 окт 2012, 13:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Пределы, функции |
Пятый сведите к следствию второго замечательного предела [math]{\color{red}\boxed{{\color{black} \lim\limits_{t\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e}}}[/math] [math]\lim_{x\to0}(1+3\operatorname{tg}^2x)^{\operatorname{ctg}^2x}= \lim_{x\to0}(1+3\operatorname{tg}^2x)^{\frac{3}{3\operatorname{tg}^2x}}= \left(\lim_{x\to0}(1+3\operatorname{tg}^2x)^{\frac{1}{3\operatorname{tg}^2x}}\right)^3}= e^3[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|