| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Предел http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=18776 |
Страница 1 из 5 |
| Автор: | jackystorm [ 20 окт 2012, 21:22 ] | |||
| Заголовок сообщения: | Предел | |||
почему с ответом не сходится?
|
||||
| Автор: | Vadim Shlovikov [ 21 окт 2012, 09:57 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел |
[math]\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(tg x\right)^{\sin\left(2\cdot x\right)}=\infty^{0}[/math] [math]y=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(tgx\right)^{\sin\left(2\cdot x\right)}[/math] [math]\ln y=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\ln\left(tgx\right)^{\sin\left(2\cdot x\right)}=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\sin\left(2\cdot x\right)\cdot\ln tgx=0\cdot\infty=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\ln tgx}{\frac{1}{\sin\left(2\cdot x\right)}}=\frac{\infty}{\infty}=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\left(\ln tgx\right)'}{\left(\frac{1}{\sin\left(2\cdot x\right)\right)'}}= \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\frac{1}{\cos^{2}x\cdot tgx}}{-\frac{2\cdot\cos\left(2\cdot x\right)}{\sin^{2}\left(2\cdot x\right)}}=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^{2}\left(2\cdot x\right)}{2\cdot\cos^{2}x\cdot tgx}=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{4\cdot\sin^{2}x\cos^{2}x}{2\cdot\cos x\cdot\sin x}=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(2\cdot\sin x\cdot\cos x\right)=0.[/math] [math]\ln y=0[/math] [math]y=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(tgx\right)^{\sin\left(2\cdot x\right)}=e^{0}=1[/math] |
|
| Автор: | Yurik [ 21 окт 2012, 10:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел |
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi |2} {\left( {tgx} \right)^{\sin 2x}} = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi |2} \sin 2x\ln tgx} \right) = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi |2} \frac{{\ln tgx}}{{\frac{1}{{\sin 2x}}}}} \right) = \hfill \\ = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi |2} \frac{{{{\sin }^2}2x}}{{tgx{{\cos }^2}x \cdot 2}}} \right) = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi |2} \frac{{4{{\sin }^2}x}}{{tgx \cdot 2}}} \right) = \exp \left( {\frac{4}{\infty }} \right) = 1 \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 21 окт 2012, 11:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел |
Но самый простой способ такой: [math]=\lim \limits_{t \to 0} \bigg ( -\frac{1}{\operatorname {tg}(t)} \bigg )^{-\sin(2t)}=\lim \limits_{t \to 0}\big ( - \operatorname {tg}(t)\big )^{\sin(2t)}=\lim \limits_{t \to 0} \bigg (\frac{\cos(2t)-1}{\sin(2t)}\bigg )^{\sin(2t)}= \lim \limits_{t \to 0} \bigg (\frac{-\frac{4t^2}{2}}{2t}\bigg )^{2t}=\lim \limits_{t \to 0} \big (-t \big )^{2t}=1[/math] |
|
| Автор: | Yurik [ 21 окт 2012, 11:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел |
Avgust [math]0^0[/math] это неопределённость, а не единица. |
|
| Автор: | Avgust [ 21 окт 2012, 11:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел |
А вот ошибаетесь, Юрий: http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... 2Ct%3D0%29 И Тейлор подтверждает. |
|
| Автор: | jackystorm [ 21 окт 2012, 11:16 ] | ||
| Заголовок сообщения: | Re: Предел | ||
Yurik писал(а): Avgust [math]0^0[/math] это неопределённость, а не единица. можете с этим помочь,пжл
|
|||
| Автор: | Yurik [ 21 окт 2012, 11:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел |
Вольфрам дал ответ, а не решение. Смотрите здесь http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0% ... 0%B5%D0%B9 PS. Это сообщение для Avgust'a. |
|
| Автор: | Yurik [ 21 окт 2012, 11:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел |
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^{\frac{1}{{1 - x}}}} = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\ln x}}{{1 - x}}} \right) = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{1}{x}}}{{ - 1}}} \right) = {e^{ - 1}} = \frac{1}{e}[/math] |
|
| Автор: | Vadim Shlovikov [ 21 окт 2012, 11:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел |
№2. [math]\lim_{x\to1+0}x^{\frac{1}{1-x}}=1^{\infty}[/math] [math]y=\lim_{x\to1+0}x^{\frac{1}{1-x}}[/math] [math]\ln y=\lim_{x\to1+0}\ln x^{\frac{1}{1-x}}=\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{1-x}=\frac{0}{0}=\lim_{x\to1}\frac{\left(\ln x\right)'}{\left(1-x\right)'}=\lim_{x\to1+0}\frac{\frac{1}{x}}{-1}=-1[/math] [math]\ln y=-1[/math] [math]y=\lim_{x\to1+0}x^{\frac{1}{1-x}}=e^{-1}=\frac{1}{e}[/math] |
|
| Страница 1 из 5 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|