| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Проверка последовательности на сходимость по Коши http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=18665 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | delmel [ 16 окт 2012, 06:09 ] |
| Заголовок сообщения: | Проверка последовательности на сходимость по Коши |
[math]{x_k} = \sum\limits_{n = 1}^k {\frac{{arctg(2n + 3)}}{{{6^n} + \frac{1}{6}{n^5} - \frac{1}{5}}}}[/math] пожалуйста, помогите проверить последовательность на сходимость при помощи К. Коши. |
|
| Автор: | Avgust [ 16 окт 2012, 09:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Проверка последовательности на сходимость по Коши |
В принципе тут невооруженным взглядом видно, что сходится. Числитель в пределе - это [math]\frac{\pi}{2}[/math] , а даже часть знаменателя дает в пределе: [math]\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{6^n}=\frac 15[/math] |
|
| Автор: | Human [ 16 окт 2012, 13:05 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Проверка последовательности на сходимость по Коши |
delmel [math]\left|\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\frac{\operatorname{arctg}(2k+3)}{6^k+\frac16k^5-\frac15}\right|<\frac{\pi}2\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\frac1{6^k+\frac16k^5-\frac15}<\frac{\pi}2\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\frac1{6^k}=\frac{\pi}{10}\cdot\frac1{6^n}\left(1-\left(\frac16\right)^p\right)<\frac1{6^n}\leqslant\frac1{6^N}<\varepsilon[/math] В качестве [math]N[/math] берёте такое натуральное число, что выполняется последнее неравенство. |
|
| Автор: | delmel [ 16 окт 2012, 15:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Проверка последовательности на сходимость по Коши |
Human писал(а): delmel [math]\left|\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\frac{\operatorname{arctg}(2k+3)}{6^k+\frac16k^5-\frac15}\right|<\frac{\pi}2\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\frac1{6^k+\frac16k^5-\frac15}<\frac{\pi}2\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\frac1{6^k}=\cdot\frac1{6^n}\left(1-\left(\frac16\right)^p\right)<\frac1{6^n}\leqslant\frac1{6^N}<\varepsilon[/math] В качестве [math]N[/math] берёте такое натуральное число, что выполняется последнее неравенство. Спасибо Вам большое, Human. Всё ясно, кроме одного момента.. [math]\frac{\pi}{10}[/math] как получилось? |
|
| Автор: | Human [ 16 окт 2012, 18:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Проверка последовательности на сходимость по Коши |
Нашёл сумму геометрической прогрессии по известной формуле, из неё вылезает [math]\frac15[/math]. |
|
| Автор: | delmel [ 16 окт 2012, 19:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Проверка последовательности на сходимость по Коши |
Аа.. формула же.. не догнал сразу Теперь ясно всё. Благодарю Вас за всё. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|