Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Проверка последовательности на сходимость по Коши
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=18665
Страница 1 из 1

Автор:  delmel [ 16 окт 2012, 06:09 ]
Заголовок сообщения:  Проверка последовательности на сходимость по Коши

[math]{x_k} = \sum\limits_{n = 1}^k {\frac{{arctg(2n + 3)}}{{{6^n} + \frac{1}{6}{n^5} - \frac{1}{5}}}}[/math]
пожалуйста, помогите проверить последовательность на сходимость при помощи К. Коши.

Автор:  Avgust [ 16 окт 2012, 09:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Проверка последовательности на сходимость по Коши

В принципе тут невооруженным взглядом видно, что сходится. Числитель в пределе - это [math]\frac{\pi}{2}[/math] , а даже часть знаменателя дает в пределе: [math]\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{6^n}=\frac 15[/math]

Автор:  Human [ 16 окт 2012, 13:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Проверка последовательности на сходимость по Коши

delmel

[math]\left|\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\frac{\operatorname{arctg}(2k+3)}{6^k+\frac16k^5-\frac15}\right|<\frac{\pi}2\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\frac1{6^k+\frac16k^5-\frac15}<\frac{\pi}2\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\frac1{6^k}=\frac{\pi}{10}\cdot\frac1{6^n}\left(1-\left(\frac16\right)^p\right)<\frac1{6^n}\leqslant\frac1{6^N}<\varepsilon[/math]

В качестве [math]N[/math] берёте такое натуральное число, что выполняется последнее неравенство.

Автор:  delmel [ 16 окт 2012, 15:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Проверка последовательности на сходимость по Коши

Human писал(а):
delmel

[math]\left|\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\frac{\operatorname{arctg}(2k+3)}{6^k+\frac16k^5-\frac15}\right|<\frac{\pi}2\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\frac1{6^k+\frac16k^5-\frac15}<\frac{\pi}2\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\frac1{6^k}=\cdot\frac1{6^n}\left(1-\left(\frac16\right)^p\right)<\frac1{6^n}\leqslant\frac1{6^N}<\varepsilon[/math]

В качестве [math]N[/math] берёте такое натуральное число, что выполняется последнее неравенство.


Спасибо Вам большое, Human.
Всё ясно, кроме одного момента.. [math]\frac{\pi}{10}[/math] как получилось?

Автор:  Human [ 16 окт 2012, 18:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Проверка последовательности на сходимость по Коши

Нашёл сумму геометрической прогрессии по известной формуле, из неё вылезает [math]\frac15[/math].

Автор:  delmel [ 16 окт 2012, 19:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Проверка последовательности на сходимость по Коши

Аа.. формула же.. не догнал сразу :)
Теперь ясно всё.
Благодарю Вас за всё.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/