Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Как доказывать непрерывность функции на всей О.О?
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=18510
Страница 1 из 2

Автор:  xKRABx [ 09 окт 2012, 19:54 ]
Заголовок сообщения:  Как доказывать непрерывность функции на всей О.О?

Я понимаю, как доказывать непрерывность на языку приращения, но я не понимаю, как доказывать непрерывность функции через определение предела? Ведь это отличается от доказательства предела...
Как мы выбираем [math]\delta ( \epsilon )[/math]?
Помогите, пожалуйста...

Автор:  Human [ 09 окт 2012, 20:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О?

xKRABx писал(а):
Как мы выбираем [math]\delta ( \epsilon )[/math] ?


Так, чтобы [math]\forall x\in U_{\delta(\varepsilon)}(a)\ |f(x)-f(a)|<\varepsilon[/math], разумеется :D1
Вы конкретный пример приведите, а то кроме вышесказанного и непонятно, как отвечать на такой вопрос.

Автор:  arkadiikirsanov [ 09 окт 2012, 20:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О?

Непрерывность - понятие локальное, поэтому непрерывность на всей о.о. означает поточечную непрерывность, то есть отдельную непрерывность в каждой точке о.о.

Автор:  xKRABx [ 10 окт 2012, 08:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О?

Вот пример:
[math]f(x)= \frac{ 1 }{ x+2 }[/math]
Нужно доказать непрерывность в каждой точке о.о, ну то есть в т.X0)

Я без труда доказываю непрерывность на языке приращений, но через пределы ни как не могу(

Автор:  arkadiikirsanov [ 10 окт 2012, 09:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О?

Через пределы - еще проще - достаточно показать. что в каждой точке о.о. предел равен значению функции в этой точке. А еще проще сослаться на теорему о непрерывности частного двух непр. функций (если знаменатель не равен 0).

Автор:  xKRABx [ 10 окт 2012, 10:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О?

В этом примере нужно найти [math]\delta ( \epsilon )[/math]...

Автор:  dr Watson [ 10 окт 2012, 12:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О?

Независимо от выбора точки [math]x_0[/math] эту дельту найти невозможно, иначе функция оказалась бы равномерно непрерывной во всей о.о., что не так. В каждой точке (отличной от [math]-2[/math], разумеется) будет своя дельта. Таким образом, дельта будет зависеть от выбора не только эпсилон, но и точки, в которой доказываете непрерывность.

Автор:  xKRABx [ 10 окт 2012, 16:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О?

Вот пример из лекции:
Изображение
P.S. Извините за ужасное качество(

Автор:  Human [ 10 окт 2012, 16:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О?

Пусть [math]x_0>-2[/math]. Предположим, что мы выбрали [math]\delta[/math], и пусть [math]|x-x_0|<\delta[/math]. Тогда

[math]|f(x)-f(x_0)|=\left|\frac1{x+2}-\frac1{x_0+2}\right|=\frac{|x-x_0|}{|x+2|(x_0+2)}<\frac{\delta}{|x+2|(x_0+2)}[/math].

Из неравенства [math]|x-x_0|<\delta[/math] следует, что

[math]x+2>x_0+2-\delta[/math]

Предположим, что можно выбрать [math]\delta[/math] так, что [math]x_0+2-\delta>0[/math]. Тогда

[math]0<\frac1{x+2}=\frac1{|x+2|}<\frac1{x_0+2-\delta}[/math]

и значит

[math]|f(x)-f(x_0)|<\frac{\delta}{(x_0+2-\delta)(x_0+2)}=\varepsilon[/math].

Выражаем и получаем [math]\delta=\frac{\varepsilon(x_0+2)^2}{1+\varepsilon(x_0+2)}[/math]. Легко проверить, что [math]\delta>0[/math] и [math]x_0+2-\delta>0[/math].

Вам остаётся сделать для [math]x_0<-2[/math].

Автор:  xKRABx [ 10 окт 2012, 17:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О?

Спасибо большое, я понял наконец-то!)
Только объясните, пожалуйста, на каком основании вы пишете:
[math]\frac{ \delta }{(x_{0} + 2 - \delta)(x_{0} + 2)} = \epsilon[/math]
Почему это равно [math]\epsilon[/math]?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/