| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Как доказывать непрерывность функции на всей О.О? http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=18510 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | xKRABx [ 09 окт 2012, 19:54 ] |
| Заголовок сообщения: | Как доказывать непрерывность функции на всей О.О? |
Я понимаю, как доказывать непрерывность на языку приращения, но я не понимаю, как доказывать непрерывность функции через определение предела? Ведь это отличается от доказательства предела... Как мы выбираем [math]\delta ( \epsilon )[/math]? Помогите, пожалуйста... |
|
| Автор: | Human [ 09 окт 2012, 20:09 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О? |
xKRABx писал(а): Как мы выбираем [math]\delta ( \epsilon )[/math] ? Так, чтобы [math]\forall x\in U_{\delta(\varepsilon)}(a)\ |f(x)-f(a)|<\varepsilon[/math], разумеется Вы конкретный пример приведите, а то кроме вышесказанного и непонятно, как отвечать на такой вопрос. |
|
| Автор: | arkadiikirsanov [ 09 окт 2012, 20:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О? |
Непрерывность - понятие локальное, поэтому непрерывность на всей о.о. означает поточечную непрерывность, то есть отдельную непрерывность в каждой точке о.о. |
|
| Автор: | xKRABx [ 10 окт 2012, 08:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О? |
Вот пример: [math]f(x)= \frac{ 1 }{ x+2 }[/math] Нужно доказать непрерывность в каждой точке о.о, ну то есть в т.X0) Я без труда доказываю непрерывность на языке приращений, но через пределы ни как не могу( |
|
| Автор: | arkadiikirsanov [ 10 окт 2012, 09:57 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О? |
Через пределы - еще проще - достаточно показать. что в каждой точке о.о. предел равен значению функции в этой точке. А еще проще сослаться на теорему о непрерывности частного двух непр. функций (если знаменатель не равен 0). |
|
| Автор: | xKRABx [ 10 окт 2012, 10:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О? |
В этом примере нужно найти [math]\delta ( \epsilon )[/math]... |
|
| Автор: | dr Watson [ 10 окт 2012, 12:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О? |
Независимо от выбора точки [math]x_0[/math] эту дельту найти невозможно, иначе функция оказалась бы равномерно непрерывной во всей о.о., что не так. В каждой точке (отличной от [math]-2[/math], разумеется) будет своя дельта. Таким образом, дельта будет зависеть от выбора не только эпсилон, но и точки, в которой доказываете непрерывность. |
|
| Автор: | xKRABx [ 10 окт 2012, 16:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О? |
Вот пример из лекции: P.S. Извините за ужасное качество( |
|
| Автор: | Human [ 10 окт 2012, 16:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О? |
Пусть [math]x_0>-2[/math]. Предположим, что мы выбрали [math]\delta[/math], и пусть [math]|x-x_0|<\delta[/math]. Тогда [math]|f(x)-f(x_0)|=\left|\frac1{x+2}-\frac1{x_0+2}\right|=\frac{|x-x_0|}{|x+2|(x_0+2)}<\frac{\delta}{|x+2|(x_0+2)}[/math]. Из неравенства [math]|x-x_0|<\delta[/math] следует, что [math]x+2>x_0+2-\delta[/math] Предположим, что можно выбрать [math]\delta[/math] так, что [math]x_0+2-\delta>0[/math]. Тогда [math]0<\frac1{x+2}=\frac1{|x+2|}<\frac1{x_0+2-\delta}[/math] и значит [math]|f(x)-f(x_0)|<\frac{\delta}{(x_0+2-\delta)(x_0+2)}=\varepsilon[/math]. Выражаем и получаем [math]\delta=\frac{\varepsilon(x_0+2)^2}{1+\varepsilon(x_0+2)}[/math]. Легко проверить, что [math]\delta>0[/math] и [math]x_0+2-\delta>0[/math]. Вам остаётся сделать для [math]x_0<-2[/math]. |
|
| Автор: | xKRABx [ 10 окт 2012, 17:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О? |
Спасибо большое, я понял наконец-то!) Только объясните, пожалуйста, на каком основании вы пишете: [math]\frac{ \delta }{(x_{0} + 2 - \delta)(x_{0} + 2)} = \epsilon[/math] Почему это равно [math]\epsilon[/math]? |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|