Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О?
СообщениеДобавлено: 09 окт 2012, 19:54 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
18 ноя 2011, 20:24
Сообщений: 61
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я понимаю, как доказывать непрерывность на языку приращения, но я не понимаю, как доказывать непрерывность функции через определение предела? Ведь это отличается от доказательства предела...
Как мы выбираем [math]\delta ( \epsilon )[/math]?
Помогите, пожалуйста...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О?
СообщениеДобавлено: 09 окт 2012, 20:09 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
xKRABx писал(а):
Как мы выбираем [math]\delta ( \epsilon )[/math] ?


Так, чтобы [math]\forall x\in U_{\delta(\varepsilon)}(a)\ |f(x)-f(a)|<\varepsilon[/math], разумеется :D1
Вы конкретный пример приведите, а то кроме вышесказанного и непонятно, как отвечать на такой вопрос.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
xKRABx
 Заголовок сообщения: Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О?
СообщениеДобавлено: 09 окт 2012, 20:27 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 16:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Непрерывность - понятие локальное, поэтому непрерывность на всей о.о. означает поточечную непрерывность, то есть отдельную непрерывность в каждой точке о.о.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю arkadiikirsanov "Спасибо" сказали:
xKRABx
 Заголовок сообщения: Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О?
СообщениеДобавлено: 10 окт 2012, 08:55 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
18 ноя 2011, 20:24
Сообщений: 61
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот пример:
[math]f(x)= \frac{ 1 }{ x+2 }[/math]
Нужно доказать непрерывность в каждой точке о.о, ну то есть в т.X0)

Я без труда доказываю непрерывность на языке приращений, но через пределы ни как не могу(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О?
СообщениеДобавлено: 10 окт 2012, 09:57 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 16:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Через пределы - еще проще - достаточно показать. что в каждой точке о.о. предел равен значению функции в этой точке. А еще проще сослаться на теорему о непрерывности частного двух непр. функций (если знаменатель не равен 0).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю arkadiikirsanov "Спасибо" сказали:
xKRABx
 Заголовок сообщения: Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О?
СообщениеДобавлено: 10 окт 2012, 10:49 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
18 ноя 2011, 20:24
Сообщений: 61
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В этом примере нужно найти [math]\delta ( \epsilon )[/math]...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О?
СообщениеДобавлено: 10 окт 2012, 12:32 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2790
Откуда: СССР
Cпасибо сказано: 120
Спасибо получено:
857 раз в 688 сообщениях
Очков репутации: 203

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Независимо от выбора точки [math]x_0[/math] эту дельту найти невозможно, иначе функция оказалась бы равномерно непрерывной во всей о.о., что не так. В каждой точке (отличной от [math]-2[/math], разумеется) будет своя дельта. Таким образом, дельта будет зависеть от выбора не только эпсилон, но и точки, в которой доказываете непрерывность.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
Alexdemath
 Заголовок сообщения: Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О?
СообщениеДобавлено: 10 окт 2012, 16:15 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
18 ноя 2011, 20:24
Сообщений: 61
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот пример из лекции:
Изображение
P.S. Извините за ужасное качество(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О?
СообщениеДобавлено: 10 окт 2012, 16:56 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть [math]x_0>-2[/math]. Предположим, что мы выбрали [math]\delta[/math], и пусть [math]|x-x_0|<\delta[/math]. Тогда

[math]|f(x)-f(x_0)|=\left|\frac1{x+2}-\frac1{x_0+2}\right|=\frac{|x-x_0|}{|x+2|(x_0+2)}<\frac{\delta}{|x+2|(x_0+2)}[/math].

Из неравенства [math]|x-x_0|<\delta[/math] следует, что

[math]x+2>x_0+2-\delta[/math]

Предположим, что можно выбрать [math]\delta[/math] так, что [math]x_0+2-\delta>0[/math]. Тогда

[math]0<\frac1{x+2}=\frac1{|x+2|}<\frac1{x_0+2-\delta}[/math]

и значит

[math]|f(x)-f(x_0)|<\frac{\delta}{(x_0+2-\delta)(x_0+2)}=\varepsilon[/math].

Выражаем и получаем [math]\delta=\frac{\varepsilon(x_0+2)^2}{1+\varepsilon(x_0+2)}[/math]. Легко проверить, что [math]\delta>0[/math] и [math]x_0+2-\delta>0[/math].

Вам остаётся сделать для [math]x_0<-2[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
xKRABx
 Заголовок сообщения: Re: Как доказывать непрерывность функции на всей О.О?
СообщениеДобавлено: 10 окт 2012, 17:49 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
18 ноя 2011, 20:24
Сообщений: 61
Cпасибо сказано: 44
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое, я понял наконец-то!)
Только объясните, пожалуйста, на каком основании вы пишете:
[math]\frac{ \delta }{(x_{0} + 2 - \delta)(x_{0} + 2)} = \epsilon[/math]
Почему это равно [math]\epsilon[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Как научиться доказывать

в форуме Размышления по поводу и без

Olya_ya210

0

146

09 мар 2024, 00:03

Как правильно доказывать

в форуме Геометрия

wyifhd

6

311

10 июн 2020, 07:59

Как правильно доказывать диффеоморфизм

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

hurrdurrrderp

1

462

08 янв 2015, 23:10

Как научиться доказывать теоремы?

в форуме Размышления по поводу и без

sfanter

1

812

24 янв 2016, 17:16

Единственность корня - доказывать или нет?

в форуме Алгебра

alekscooper

6

212

09 окт 2019, 20:20

Как доказывать свойства операций с вещественными числами?

в форуме Теория чисел

brom

6

578

03 янв 2017, 16:42

Непрерывность функции

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

genia2030

10

3810

01 окт 2019, 19:14

Непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

OKSVET

0

213

30 ноя 2018, 20:43

Непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

sanchousina

16

327

23 дек 2020, 00:09

Непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

md_house

3

239

25 дек 2017, 00:25


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved