| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти предел последовательности http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=18476 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Human [ 08 окт 2012, 02:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Найти предел последовательности |
Пусть [math]\lim_{n\to\infty}x_n=a,\ \lim_{n\to\infty}y_n=b[/math]. Доказать, что [math]\lim_{n\to\infty}\frac{x_1y_n+x_2y_{n-1}+\ldots+x_{n-1}y_2+x_ny_1}n=ab[/math] У меня есть достаточно нудное доказательство этого факта (под спойлером), но хотелось бы придумать что-нибудь попроще и красивше, например, какое-нибудь хитрое применение теоремы Штольца. Собственно, прошу посмотреть задание и поделиться идеями. [spoiler=Очень нудное и неинтересное доказательство]Рассмотрим сначала случай [math]a=b=0[/math]. Обозначим [math]z_n=\frac1n\sum_{i=1}^nx_iy_{n-i+1}[/math]. Рассмотрим подпоследовательность [math]z_{2k}=\frac1{2k}\sum_{i=1}^{2k}x_iy_{2k-i+1}=\frac1{2k}\sum_{i=1}^k(x_iy_{2k-i+1}+y_ix_{2k-i+1})[/math] Выберем [math]\varepsilon>0[/math]. Поскольку последовательности [math]x_n[/math] и [math]y_n[/math] бесконечно малые, то найдётся такое [math]K\in\mathbb{N}[/math], что при любом [math]k\geqslant K[/math] выполнены неравенства [math]|x_k|<\sqrt{\frac{\varepsilon}2},\ |y_k|<\sqrt{\frac{\varepsilon}2}[/math] Тогда при [math]k\geqslant K[/math] [math]|z_{2k}|<\frac1{2k}\sqrt{\frac{\varepsilon}2}\sum_{i=1}^K(|x_i|+|y_i|)+\frac1{2k}\cdot\frac{\varepsilon}2\cdot2(k-K)=\frac{\varepsilon}2+\frac C k[/math] где [math]C=\frac12\sqrt{\frac{\varepsilon}2}\sum_{i=1}^K(|x_i|+|y_i|)-\frac{\varepsilon K}2[/math] - константа, не зависящая от [math]k[/math]. Последовательность [math]\frac C k[/math] бесконечно мала, поэтому существует [math]M\in\mathbb{N}[/math] такое, что при любом [math]k\geqslant M[/math] выполнено неравенство [math]\frac C k<\frac{\varepsilon}2[/math] Тогда при [math]k\geqslant N=\max(K,M)[/math] [math]|z_{2k}|<\varepsilon[/math] Итак, по любому [math]\varepsilon>0[/math] было выбрано [math]N\in\mathbb{N}[/math] так, что при любых [math]k\geqslant N[/math] выполнено неравенство [math]|z_{2k}|<\varepsilon[/math], значит [math]z_{2k}[/math] - бесконечно малая последовательность. Аналогично можно доказать, что и [math]z_{2k-1}[/math] бесконечно мала. Значит бесконечно мала и [math]z_n[/math]. Теперь рассмотрим случай произвольных [math]a[/math] и [math]b[/math]. Рассмотрим бесконечно малые последовательности [math]c_n=x_n-a,\ d_n=y_n-b[/math]. Тогда [math]z_n=\frac1n\sum_{i=1}^nx_iy_{n-i+1}=\frac1n\sum_{i=1}^nc_id_{n-i+1}+\frac b n\sum_{i=1}^nc_i+\frac a n\sum_{i=1}^nd_i+ab[/math] Первое слагаемое сходится к нулю по доказанному выше, а следующие два сходятся к нулю по теореме Штольца. Значит [math]z_n[/math] сходится к [math]ab[/math], ч. и т. д.[/spoiler] |
|
| Автор: | andrei [ 08 окт 2012, 10:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел последовательности |
Вытекает из теоремы Теплица.(Фихтенгольц Г.М. п.391,[math]4^{\circ}[/math]) |
|
| Автор: | Human [ 08 окт 2012, 10:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел последовательности |
andrei Точно, всё доказывается несколько проще, чем я здесь расписал (имею в виду, если теорема Теплица заранее не известна). Спасибо! |
|
| Автор: | Avgust [ 09 окт 2012, 15:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел последовательности |
А можно привести тут это доказательство? Думаю, не только мне будет полезно. Уж очень красивая математическая задача! Проверил на конкретных пределах - работает! |
|
| Автор: | andrei [ 09 окт 2012, 18:52 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел последовательности |
![]()
|
|
| Автор: | Human [ 09 окт 2012, 19:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел последовательности |
Avgust Пожалуйста, только оно всё равно останется нудным, хоть и будет короче. Если следовать идее доказательства теоремы Теплица, то будет так: [spoiler=Док-во без теоремы Теплица, но следуя её идеям]Рассмотрим случай [math]a=0[/math]. Поскольку последовательность [math]y_n[/math] сходится, то она ограничена, то есть существует такая положительная константа [math]K[/math], что при любом [math]n[/math] [math]|y_n|<K[/math]. Обозначим [math]z_n=\frac1n\sum_{i=1}^nx_iy_{n-i+1}[/math]. Выберем [math]\varepsilon>0[/math]. Тогда существует такое [math]M\in\mathbb{N}[/math], что при любом [math]n\geqslant M[/math] выполнено неравенство [math]|x_n|<\frac{\varepsilon}{2K}[/math] Тогда [math]|z_n|<\left|\frac1n\sum_{i=1}^Nx_iy_{n-i+1}\right|+\frac{\varepsilon}{2K}\frac1n\sum_{i=1}^{n-N}|y_i|<\left|\frac1n\sum_{i=1}^Nx_iy_{n-i+1}\right|+\frac{\varepsilon}2[/math] Заметим, что последовательность [math]\left|\frac1n\sum_{i=1}^Nx_iy_{n-i+1}\right|[/math] бесконечно мала, значит существует такое число [math]L\in\mathbb{N}[/math], что при любых [math]n\geqslant L[/math] выполнено неравенство [math]\left|\frac1n\sum_{i=1}^Nx_iy_{n-i+1}\right|<\frac{\varepsilon}2[/math] Тогда при [math]n\geqslant N=\max(M,L)[/math] [math]|z_n|<\varepsilon[/math] Значит [math]z_n[/math] бесконечно мала. Если же [math]a[/math] произвольно, то запишем [math]z_n[/math] в виде [math]z_n=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-a)y_{n-i+1}+a\cdot\frac1n\sum_{i=1}^ny_i[/math] Первое слагаемое стремится к нулю по доказанному выше, а второе к [math]ab[/math] по теореме Штольца (или Коши).[/spoiler] Доказательство с помощью теоремы Теплица привел выше andrei. andrei Может стоит и саму теорему Теплица с доказательством запостить? |
|
| Автор: | andrei [ 09 окт 2012, 20:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел последовательности |
|
|
| Автор: | Avgust [ 09 окт 2012, 20:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел последовательности |
Чует сердце, что столь красивая задача имеет более изящное доказательство. Но увы, здесь я слаб. |
|
| Автор: | arkadiikirsanov [ 09 окт 2012, 20:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел последовательности |
| Автор: | Avgust [ 09 окт 2012, 21:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел последовательности |
Так именно так сегодня утром и было! Я задался двумя пределами и на калькуляторе (то бишь в Вольфраме) проверил численно гипотезу. Были определенные трудности с медленной сходимостью, но все же сошлось куда надо
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|