Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти предел последовательности
СообщениеДобавлено: 08 окт 2012, 02:06 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть [math]\lim_{n\to\infty}x_n=a,\ \lim_{n\to\infty}y_n=b[/math]. Доказать, что

[math]\lim_{n\to\infty}\frac{x_1y_n+x_2y_{n-1}+\ldots+x_{n-1}y_2+x_ny_1}n=ab[/math]

У меня есть достаточно нудное доказательство этого факта (под спойлером), но хотелось бы придумать что-нибудь попроще и красивше, например, какое-нибудь хитрое применение теоремы Штольца. Собственно, прошу посмотреть задание и поделиться идеями.

[spoiler=Очень нудное и неинтересное доказательство]Рассмотрим сначала случай [math]a=b=0[/math]. Обозначим [math]z_n=\frac1n\sum_{i=1}^nx_iy_{n-i+1}[/math]. Рассмотрим подпоследовательность
[math]z_{2k}=\frac1{2k}\sum_{i=1}^{2k}x_iy_{2k-i+1}=\frac1{2k}\sum_{i=1}^k(x_iy_{2k-i+1}+y_ix_{2k-i+1})[/math]

Выберем [math]\varepsilon>0[/math]. Поскольку последовательности [math]x_n[/math] и [math]y_n[/math] бесконечно малые, то найдётся такое [math]K\in\mathbb{N}[/math], что при любом [math]k\geqslant K[/math] выполнены неравенства

[math]|x_k|<\sqrt{\frac{\varepsilon}2},\ |y_k|<\sqrt{\frac{\varepsilon}2}[/math]

Тогда при [math]k\geqslant K[/math]

[math]|z_{2k}|<\frac1{2k}\sqrt{\frac{\varepsilon}2}\sum_{i=1}^K(|x_i|+|y_i|)+\frac1{2k}\cdot\frac{\varepsilon}2\cdot2(k-K)=\frac{\varepsilon}2+\frac C k[/math]

где [math]C=\frac12\sqrt{\frac{\varepsilon}2}\sum_{i=1}^K(|x_i|+|y_i|)-\frac{\varepsilon K}2[/math] - константа, не зависящая от [math]k[/math]. Последовательность [math]\frac C k[/math] бесконечно мала, поэтому существует [math]M\in\mathbb{N}[/math] такое, что при любом [math]k\geqslant M[/math] выполнено неравенство

[math]\frac C k<\frac{\varepsilon}2[/math]

Тогда при [math]k\geqslant N=\max(K,M)[/math]

[math]|z_{2k}|<\varepsilon[/math]

Итак, по любому [math]\varepsilon>0[/math] было выбрано [math]N\in\mathbb{N}[/math] так, что при любых [math]k\geqslant N[/math] выполнено неравенство [math]|z_{2k}|<\varepsilon[/math], значит [math]z_{2k}[/math] - бесконечно малая последовательность.

Аналогично можно доказать, что и [math]z_{2k-1}[/math] бесконечно мала. Значит бесконечно мала и [math]z_n[/math].

Теперь рассмотрим случай произвольных [math]a[/math] и [math]b[/math]. Рассмотрим бесконечно малые последовательности [math]c_n=x_n-a,\ d_n=y_n-b[/math]. Тогда

[math]z_n=\frac1n\sum_{i=1}^nx_iy_{n-i+1}=\frac1n\sum_{i=1}^nc_id_{n-i+1}+\frac b n\sum_{i=1}^nc_i+\frac a n\sum_{i=1}^nd_i+ab[/math]

Первое слагаемое сходится к нулю по доказанному выше, а следующие два сходятся к нулю по теореме Штольца. Значит [math]z_n[/math] сходится к [math]ab[/math], ч. и т. д.[/spoiler]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел последовательности
СообщениеДобавлено: 08 окт 2012, 10:02 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вытекает из теоремы Теплица.(Фихтенгольц Г.М. п.391,[math]4^{\circ}[/math])

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
Alexdemath, Human
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел последовательности
СообщениеДобавлено: 08 окт 2012, 10:47 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
andrei

Точно, всё доказывается несколько проще, чем я здесь расписал (имею в виду, если теорема Теплица заранее не известна). Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел последовательности
СообщениеДобавлено: 09 окт 2012, 15:24 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А можно привести тут это доказательство? Думаю, не только мне будет полезно. Уж очень красивая математическая задача! Проверил на конкретных пределах - работает!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел последовательности
СообщениеДобавлено: 09 окт 2012, 18:52 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел последовательности
СообщениеДобавлено: 09 окт 2012, 19:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust

Пожалуйста, только оно всё равно останется нудным, хоть и будет короче.
Если следовать идее доказательства теоремы Теплица, то будет так:

[spoiler=Док-во без теоремы Теплица, но следуя её идеям]Рассмотрим случай [math]a=0[/math]. Поскольку последовательность [math]y_n[/math] сходится, то она ограничена, то есть существует такая положительная константа [math]K[/math], что при любом [math]n[/math] [math]|y_n|<K[/math]. Обозначим [math]z_n=\frac1n\sum_{i=1}^nx_iy_{n-i+1}[/math]. Выберем [math]\varepsilon>0[/math]. Тогда существует такое [math]M\in\mathbb{N}[/math], что при любом [math]n\geqslant M[/math] выполнено неравенство

[math]|x_n|<\frac{\varepsilon}{2K}[/math]

Тогда

[math]|z_n|<\left|\frac1n\sum_{i=1}^Nx_iy_{n-i+1}\right|+\frac{\varepsilon}{2K}\frac1n\sum_{i=1}^{n-N}|y_i|<\left|\frac1n\sum_{i=1}^Nx_iy_{n-i+1}\right|+\frac{\varepsilon}2[/math]

Заметим, что последовательность [math]\left|\frac1n\sum_{i=1}^Nx_iy_{n-i+1}\right|[/math] бесконечно мала, значит существует такое число [math]L\in\mathbb{N}[/math], что при любых [math]n\geqslant L[/math] выполнено неравенство

[math]\left|\frac1n\sum_{i=1}^Nx_iy_{n-i+1}\right|<\frac{\varepsilon}2[/math]

Тогда при [math]n\geqslant N=\max(M,L)[/math]

[math]|z_n|<\varepsilon[/math]

Значит [math]z_n[/math] бесконечно мала. Если же [math]a[/math] произвольно, то запишем [math]z_n[/math] в виде

[math]z_n=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-a)y_{n-i+1}+a\cdot\frac1n\sum_{i=1}^ny_i[/math]

Первое слагаемое стремится к нулю по доказанному выше, а второе к [math]ab[/math] по теореме Штольца (или Коши).[/spoiler]

Доказательство с помощью теоремы Теплица привел выше andrei.

andrei

Может стоит и саму теорему Теплица с доказательством запостить?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел последовательности
СообщениеДобавлено: 09 окт 2012, 20:24 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
Avgust, Human
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел последовательности
СообщениеДобавлено: 09 окт 2012, 20:41 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Чует сердце, что столь красивая задача имеет более изящное доказательство. Но увы, здесь я слаб.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел последовательности
СообщениеДобавлено: 09 окт 2012, 20:53 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 16:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Чует сердце, что столь красивая задача имеет более изящное доказательство. Но увы, здесь я слаб.
Дед бил - не разбил, Баба била - не разбила. тёплиц думал - не додумал, зато Avgust мельком глянул - и сразу учуял, что есть решение на калькуляторе! :ROFL:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел последовательности
СообщениеДобавлено: 09 окт 2012, 21:23 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так именно так сегодня утром и было! Я задался двумя пределами и на калькуляторе (то бишь в Вольфраме) проверил численно гипотезу. Были определенные трудности с медленной сходимостью, но все же сошлось куда надо :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

belinum

2

202

27 окт 2014, 18:35

Найти предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

fedorovdanilo

9

848

03 ноя 2014, 02:37

Найти предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

salainenkappale

4

241

24 июл 2020, 16:05

Найти предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Ibrokhim25Z2B5DI47

2

199

09 май 2020, 23:37

Найти предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

devhead

2

196

30 ноя 2020, 20:38

Найти предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

DashuTka

2

176

27 июл 2020, 13:37

Найти предел последовательности

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

devhead

2

212

30 ноя 2020, 20:29

Найти предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

mkolmi

3

330

20 окт 2017, 17:41

Найти предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

assp1r1n3

6

462

05 ноя 2015, 11:14

Найти предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Rorchax

3

300

18 фев 2015, 11:01


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved