| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Что-то похожее на теорему Штольца http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=18439 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Human [ 05 окт 2012, 21:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Что-то похожее на теорему Штольца |
Уже 4 дня бьюсь над следующим утверждением. Бесконечно малые последовательности [math]x_n[/math] и [math]y_n[/math] таковы, что [math]\lim_{n\to\infty}\frac{y_{n+1}-y_n}{x_{n+1}-x_n}=a[/math]. Известно также, что [math]x_n[/math] монотонно убывает. Доказать, что [math]\lim_{n\to\infty}\frac{y_n}{x_n}=a[/math]. Как и написано в заголовке темы, это утверждение напоминает теорему Штольца, поэтому я пытался доказывать его похожим образом, но ничего не вышло. Поиск по интернету тоже ничего не дал. Сейчас я внезапно придумал док-во, но не вполне уверен в его справедливости. Прошу участников форума проверить и поделиться другими возможными док-вами, если они проще. [spoiler=Док-во]Выберем [math]\varepsilon>0[/math]. Тогда существует такое число [math]N\in\mathbb{N}[/math], что для любых [math]n\geqslant N[/math] выполнено неравенство [math]\left|\frac{y_{n+1}-y_n}{x_{n+1}-x_n}-a\right|<\frac{\varepsilon}2[/math]. Раскрыв модуль, получим [math]a-\frac{\varepsilon}2<\frac{y_{n+1}-y_n}{x_{n+1}-x_n}<a+\frac{\varepsilon}2[/math]. Поскольку последовательность [math]x_n[/math] монотонно убывает и [math]x_{n+1}\ne x_n[/math], то [math]x_{n+1}-x_n<0[/math], поэтому, умножая неравенство на [math]x_{n+1}-x_n[/math], получим [math]\left(a+\frac{\varepsilon}2\right)(x_{n+1}-x_n)<y_{n+1}-y_n<\left(a-\frac{\varepsilon}2\right)(x_{n+1}-x_n)[/math] Выберем теперь произвольное натуральное число [math]m\geqslant N[/math] и натуральное число [math]p\geqslant m[/math]. Тогда полученное выше неравенство справедливо для всех [math]n[/math] от [math]m[/math] до [math]p[/math]. Просуммировав это неравенство по всем таким [math]n[/math], получим [math]\left(a+\frac{\varepsilon}2\right)(x_{p+1}-x_m)<y_{p+1}-y_m<\left(a-\frac{\varepsilon}2\right)(x_{p+1}-x_m)[/math] Свернув обратно это неравенство, получим [math]\left|\frac{y_{p+1}-y_m}{x_{p+1}-x_m}-a\right|<\frac{\varepsilon}2[/math] Это выражение справедливо при всех [math]p\geqslant m[/math], поэтому, переходя в неравенстве к пределу при [math]p\to\infty[/math] и учитывая бесконечную малость [math]x_{p+1}[/math] и [math]y_{p+1}[/math], получим [math]\left|\frac{y_m}{x_m}-a\right|\leqslant\frac{\varepsilon}2<\varepsilon[/math] Это неравенство в силу произвольности выбора [math]m[/math] справедливо при всех [math]m\geqslant N[/math]. Таким образом для любого [math]\varepsilon>0[/math] существует [math]N\in\mathbb{N}[/math], такое что при любом [math]m\geqslant N[/math] выполнено неравенство [math]\left|\frac{y_m}{x_m}-a\right|<\varepsilon[/math], значит [math]\lim_{m\to\infty}\frac{y_m}{x_m}=a[/math].[/spoiler] |
|
| Автор: | arkadiikirsanov [ 05 окт 2012, 21:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Что-то похожее на теорему Штольца |
Хорошее доказательство! Не уверен, что его можно сильно упростить.
|
|
| Автор: | Prokop [ 06 окт 2012, 11:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Что-то похожее на теорему Штольца |
Human Доказательство, конечно, хорошее. Однако, замена [math]x_n = \frac{1}{{b_n }}[/math] сводит Ваше утверждение к теореме Штольца http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 1%86%D0%B0 |
|
| Автор: | Human [ 06 окт 2012, 17:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Что-то похожее на теорему Штольца |
Prokop Да, я думал над этой заменой (это, собственно, первое, что я предпринял), но тогда что нужно принять за [math]a_n[/math], чтобы предел в этой задаче свёлся к пределу в теореме Штольца? Если просто принять [math]a_n=\frac1{y_n}[/math], то ничего не получится, поскольку [math]\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\frac{x_n x_{n+1}}{y_n y_{n+1}}\cdot\frac{y_{n+1}-y_n}{x_{n+1}-x_n}[/math] а поведение множителя [math]\frac{x_n x_{n+1}}{y_n y_{n+1}}[/math], ну, мне лично не очевидно. Вы бы не могли подробнее описать этот переход? |
|
| Автор: | Prokop [ 06 окт 2012, 19:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Что-то похожее на теорему Штольца |
Human Вы правы. Померещилось, что за счёт замены и разбития последовательности на две подпоследовательности можно свести дело к теореме Штольца. При этом никак не учитывал важного условия (бесконечной малости) на последовательность [math]\left\{ {y_n } \right\}[/math] |
|
| Автор: | Human [ 06 окт 2012, 19:31 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Что-то похожее на теорему Штольца |
Всё равно, спасибо за ответ. Вы, кстати, не знаете, где можно найти ещё доказательства этого утверждения? Мне кажется, что оно ровно настолько же важно, как и сама теорема Штольца, значит где-нибудь про него наверняка написано. |
|
| Автор: | Prokop [ 06 окт 2012, 19:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Что-то похожее на теорему Штольца |
Нет, не знаю. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|