Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Что-то похожее на теорему Штольца
СообщениеДобавлено: 05 окт 2012, 21:16 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уже 4 дня бьюсь над следующим утверждением.

Бесконечно малые последовательности [math]x_n[/math] и [math]y_n[/math] таковы, что [math]\lim_{n\to\infty}\frac{y_{n+1}-y_n}{x_{n+1}-x_n}=a[/math]. Известно также, что [math]x_n[/math] монотонно убывает. Доказать, что [math]\lim_{n\to\infty}\frac{y_n}{x_n}=a[/math].

Как и написано в заголовке темы, это утверждение напоминает теорему Штольца, поэтому я пытался доказывать его похожим образом, но ничего не вышло. Поиск по интернету тоже ничего не дал. Сейчас я внезапно придумал док-во, но не вполне уверен в его справедливости. Прошу участников форума проверить и поделиться другими возможными док-вами, если они проще.

[spoiler=Док-во]Выберем [math]\varepsilon>0[/math]. Тогда существует такое число [math]N\in\mathbb{N}[/math], что для любых [math]n\geqslant N[/math] выполнено неравенство

[math]\left|\frac{y_{n+1}-y_n}{x_{n+1}-x_n}-a\right|<\frac{\varepsilon}2[/math].

Раскрыв модуль, получим

[math]a-\frac{\varepsilon}2<\frac{y_{n+1}-y_n}{x_{n+1}-x_n}<a+\frac{\varepsilon}2[/math].

Поскольку последовательность [math]x_n[/math] монотонно убывает и [math]x_{n+1}\ne x_n[/math], то [math]x_{n+1}-x_n<0[/math], поэтому, умножая неравенство на [math]x_{n+1}-x_n[/math], получим

[math]\left(a+\frac{\varepsilon}2\right)(x_{n+1}-x_n)<y_{n+1}-y_n<\left(a-\frac{\varepsilon}2\right)(x_{n+1}-x_n)[/math]

Выберем теперь произвольное натуральное число [math]m\geqslant N[/math] и натуральное число [math]p\geqslant m[/math]. Тогда полученное выше неравенство справедливо для всех [math]n[/math] от [math]m[/math] до [math]p[/math]. Просуммировав это неравенство по всем таким [math]n[/math], получим

[math]\left(a+\frac{\varepsilon}2\right)(x_{p+1}-x_m)<y_{p+1}-y_m<\left(a-\frac{\varepsilon}2\right)(x_{p+1}-x_m)[/math]

Свернув обратно это неравенство, получим

[math]\left|\frac{y_{p+1}-y_m}{x_{p+1}-x_m}-a\right|<\frac{\varepsilon}2[/math]

Это выражение справедливо при всех [math]p\geqslant m[/math], поэтому, переходя в неравенстве к пределу при [math]p\to\infty[/math] и учитывая бесконечную малость [math]x_{p+1}[/math] и [math]y_{p+1}[/math], получим

[math]\left|\frac{y_m}{x_m}-a\right|\leqslant\frac{\varepsilon}2<\varepsilon[/math]

Это неравенство в силу произвольности выбора [math]m[/math] справедливо при всех [math]m\geqslant N[/math]. Таким образом для любого [math]\varepsilon>0[/math] существует [math]N\in\mathbb{N}[/math], такое что при любом [math]m\geqslant N[/math] выполнено неравенство [math]\left|\frac{y_m}{x_m}-a\right|<\varepsilon[/math], значит [math]\lim_{m\to\infty}\frac{y_m}{x_m}=a[/math].[/spoiler]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Что-то похожее на теорему Штольца
СообщениеДобавлено: 05 окт 2012, 21:59 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 16:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Хорошее доказательство! :good: Не уверен, что его можно сильно упростить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю arkadiikirsanov "Спасибо" сказали:
Human
 Заголовок сообщения: Re: Что-то похожее на теорему Штольца
СообщениеДобавлено: 06 окт 2012, 11:37 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human
Доказательство, конечно, хорошее. Однако, замена [math]x_n = \frac{1}{{b_n }}[/math] сводит Ваше утверждение к теореме Штольца
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 1%86%D0%B0

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Что-то похожее на теорему Штольца
СообщениеДобавлено: 06 окт 2012, 17:10 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop

Да, я думал над этой заменой (это, собственно, первое, что я предпринял), но тогда что нужно принять за [math]a_n[/math], чтобы предел в этой задаче свёлся к пределу в теореме Штольца? Если просто принять [math]a_n=\frac1{y_n}[/math], то ничего не получится, поскольку

[math]\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\frac{x_n x_{n+1}}{y_n y_{n+1}}\cdot\frac{y_{n+1}-y_n}{x_{n+1}-x_n}[/math]

а поведение множителя [math]\frac{x_n x_{n+1}}{y_n y_{n+1}}[/math], ну, мне лично не очевидно.

Вы бы не могли подробнее описать этот переход?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Что-то похожее на теорему Штольца
СообщениеДобавлено: 06 окт 2012, 19:18 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human :pardon:
Вы правы. Померещилось, что за счёт замены и разбития последовательности на две подпоследовательности можно свести дело к теореме Штольца. При этом никак не учитывал важного условия (бесконечной малости) на последовательность [math]\left\{ {y_n } \right\}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Что-то похожее на теорему Штольца
СообщениеДобавлено: 06 окт 2012, 19:31 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всё равно, спасибо за ответ. Вы, кстати, не знаете, где можно найти ещё доказательства этого утверждения? Мне кажется, что оно ровно настолько же важно, как и сама теорема Штольца, значит где-нибудь про него наверняка написано.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Что-то похожее на теорему Штольца
СообщениеДобавлено: 06 окт 2012, 19:50 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет, не знаю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Теорема Штольца

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Mrnobody

3

398

13 июл 2017, 10:09

Докозательство теоремы Штольца

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Cynic_

4

385

14 окт 2015, 18:26

Доказательство теоремы Штольца

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Space

9

1432

27 дек 2015, 16:48

Число, похожее на 10

в форуме Размышления по поводу и без

Xenia1996

6

287

29 авг 2017, 22:30

Переход в доказательстве теоремы Штольца

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

olivia_jane

4

491

12 янв 2015, 13:40

Что-то похожее на транспортную задачу

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

Hermann

0

288

11 фев 2016, 14:07

Что-то похожее на сложные проценты, но далеко не оно

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

clinicheskiy

14

608

22 авг 2022, 17:29

Доказать теорему

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

maqueee

2

315

13 апр 2014, 10:27

Доказать теорему

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

DAVELANTOR

3

155

09 ноя 2021, 00:07

Короткометражка про теорему Ферма

в форуме Палата №6

erjoma

0

365

10 сен 2014, 01:40


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 29


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved