Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел последовательности
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=18355
Страница 1 из 1

Автор:  Ellipsoid [ 29 сен 2012, 17:57 ]
Заголовок сообщения:  Предел последовательности

Верно ли, что [math]\lim_{n \to \infty}{\sin^2 (\pi \sqrt{n^2+n})}=\lim_{n \to \infty}{\sin^2 (\pi n \sqrt{1+\frac{1}{n}} )}=\lim_{n \to \infty}{\sin^2 (\pi n + \frac{\pi}{2})}=1[/math]? Учли эквивалентность последовательностей [math]\sqrt{1+\frac{1}{n}}[/math] и [math]1+\frac{1}{2n}[/math].

Автор:  Human [ 29 сен 2012, 18:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел последовательности

Здесь безопаснее делать переход к эквивалентным с помощью тождественных формул с о-малыми, чтобы адекватно оценить ту часть функции, которая отбрасывается при таком переходе. То есть формально нужно делать так:

[math]\lim_{n\to\infty}\sin^2(\pi\sqrt{n^2+n})=\lim_{n\to\infty}\sin^2\left(\pi n\sqrt{1+\frac1n}\right)=\lim_{n\to\infty}\sin^2\left(\pi n\left(1+\frac1{2n}+o\left(\frac1n\right)\right)\right)=\lim_{n\to\infty}\sin^2\left(\pi n+\frac{\pi}2+o(1)\right)=[/math]

[math]=\lim_{n\to\infty}\cos^2(o(1))=1[/math]

Если бы Вы, например, заменили [math]\sqrt{1+\frac1n}\sim1[/math], то получили бы неверный ответ 0, поскольку при таком переходе Вы бы отбросили под синусом функцию [math]n\cdot o(1)[/math], которая ведёт себя непонятно как.

Автор:  Ellipsoid [ 29 сен 2012, 18:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел последовательности

Human, точно. Про о-малое забыл. Спасибо.

Автор:  Human [ 29 сен 2012, 18:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел последовательности

Кстати, очень поучительное задание. Я с первого взгляда на предел подумал, что ответ будет 0, и когда увидел Ваш ответ, даже подумал, что Вы ошиблись. :)

Автор:  Ellipsoid [ 29 сен 2012, 19:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел последовательности

Human, этот предел из сборника олимпиадных задач (Садовничий, Подколзий), номер 42.

Автор:  Human [ 29 сен 2012, 21:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел последовательности

Ну и да, можно было бы совсем без о-малых решить, ведь

[math]\sin^2\left(\pi\sqrt{n^2+n}\right)=\sin^2\left(\frac{\pi}{1+\sqrt{1+\frac1n}\right)[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/