Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел с числом Эйлера в знаменателе
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=18243
Страница 1 из 1

Автор:  xallas [ 23 сен 2012, 17:28 ]
Заголовок сообщения:  Предел с числом Эйлера в знаменателе

http://piccy.info/view3/3502659/44af1ff ... e7cbeb4e4/
вот такой вот непонятный лимит. е стоит в степени х^2. как можно сделать, чтобы в степени стояло е?. (я так понимаю, нужно прийти к второму замечательному пределу?

http://www.sciweavers.org/upload/Tex2Im ... 51/eqn.png

Автор:  Human [ 23 сен 2012, 17:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел с числом Эйлера в знаменателе

Воспользуйтесь стандартными эквивалентностями: [math]1-\cos x\sim\frac{x^2}2,\ e^x-1\sim x[/math].

Автор:  Yurik [ 23 сен 2012, 19:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел с числом Эйлера в знаменателе

Покажу решение.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos 10x}}{{{e^{{x^2}}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{50{x^2}}}{{{x^2}}} = 50[/math]

Автор:  Alexdemath [ 23 сен 2012, 19:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел с числом Эйлера в знаменателе

Если нужно только с помощью замечательных пределов и их следствий, то

[math]\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 10x}{e^{x^2}-1}= 2\lim_{x\to0}\frac{\sin^25x}{x^2}\frac{x^2}{e^{x^2}-1} = 50{\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{5x}\right)\!}^2\frac{1}{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{x^2}-1}{x^2}}= 50\cdot1^2\cdot \frac{1}{\ln e}=50[/math]

Использовались известная ещё со школы тригонометрическая формула [math]{\color{red}\boxed{{\color{black}\sin^2\alpha=\frac{ 1-\cos2\alpha }{ 2 } }}}[/math],

следствие первого замечательного предела [math]{\color{red}\boxed{{\color{black}\lim_{x \to 0} \frac{ \sin ax }{ ax }=1 }}}[/math]

и следствие второго замечательного предела [math]{\color{red}\boxed{{\color{black}\lim_{x \to 0} \frac{ a^x-1 }{ x } =\ln a }}}[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/