| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Предел с числом Эйлера в знаменателе http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=18243 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | xallas [ 23 сен 2012, 17:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Предел с числом Эйлера в знаменателе |
http://piccy.info/view3/3502659/44af1ff ... e7cbeb4e4/ вот такой вот непонятный лимит. е стоит в степени х^2. как можно сделать, чтобы в степени стояло е?. (я так понимаю, нужно прийти к второму замечательному пределу? http://www.sciweavers.org/upload/Tex2Im ... 51/eqn.png |
|
| Автор: | Human [ 23 сен 2012, 17:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел с числом Эйлера в знаменателе |
Воспользуйтесь стандартными эквивалентностями: [math]1-\cos x\sim\frac{x^2}2,\ e^x-1\sim x[/math]. |
|
| Автор: | Yurik [ 23 сен 2012, 19:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел с числом Эйлера в знаменателе |
Покажу решение. [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos 10x}}{{{e^{{x^2}}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{50{x^2}}}{{{x^2}}} = 50[/math] |
|
| Автор: | Alexdemath [ 23 сен 2012, 19:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел с числом Эйлера в знаменателе |
Если нужно только с помощью замечательных пределов и их следствий, то [math]\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 10x}{e^{x^2}-1}= 2\lim_{x\to0}\frac{\sin^25x}{x^2}\frac{x^2}{e^{x^2}-1} = 50{\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{5x}\right)\!}^2\frac{1}{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{x^2}-1}{x^2}}= 50\cdot1^2\cdot \frac{1}{\ln e}=50[/math] Использовались известная ещё со школы тригонометрическая формула [math]{\color{red}\boxed{{\color{black}\sin^2\alpha=\frac{ 1-\cos2\alpha }{ 2 } }}}[/math], следствие первого замечательного предела [math]{\color{red}\boxed{{\color{black}\lim_{x \to 0} \frac{ \sin ax }{ ax }=1 }}}[/math] и следствие второго замечательного предела [math]{\color{red}\boxed{{\color{black}\lim_{x \to 0} \frac{ a^x-1 }{ x } =\ln a }}}[/math]. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|