Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=18116
Страница 1 из 1

Автор:  oksanakurb [ 14 сен 2012, 17:11 ]
Заголовок сообщения:  Предел

[math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{2} + \frac{3}{{2^2 }} + \frac{5}{{2^3 }} + ... + \frac{{2n - 1}}{{2^n }}} \right)[/math]

помогите найти предел,точнее не могу никак сообразить как свернуть то что в скобках :(

Автор:  AV_77 [ 14 сен 2012, 17:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Для удобства обозначим [math]x = \frac{1}{2}[/math]. Тогда имеем сумму [math]S_n = x + 3x^2 + 5x^3 + \ldots + (2n-1)x^n[/math]. Отсюда
[math]xS_n - S_n = (2n-1)x^{n+1} - x - 2x^2(1 + x + \ldots + x^{n-2}) = (2n-1)x^{n+1} - x - 2x^2 \frac{x^{n-1}}{x-1}[/math].
Ну и окончательно
[math]S_n = \frac{(2n-1)x^{n+1} - x}{x-1} - 2x^2 \frac{x^{n-1} - 1}{(x-1)^2}[/math].

Вроде не ошибся, но лучше проверьте.

Автор:  Alexdemath [ 14 сен 2012, 18:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Можно "переиндексировать" ряд

[math]\begin{aligned}\sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{{2k - 1}}{2^k} &= \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{2(k + 1) - 1}{2^{k + 1}} = \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{{2k - 1 + 2}}{2^k}= \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{{2k - 1}}{2^k} + \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{1}{2^k}=\\[5pt] &= - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{{2k - 1}}{2^k} + 2 = \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{2k - 1}}{{{2^k}}}} + \frac{3}{2}~\Leftrightarrow \\[5pt] &\Leftrightarrow~ \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{2k - 1}}{{{2^k}}}} = \frac{3}{2}~ \Leftrightarrow~ \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{2k - 1}}{{{2^k}}}} = 3\end{aligned}[/math]

Автор:  Andy [ 14 сен 2012, 19:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

oksanakurb
В задании требуется найти сумму ряда. Попробуйте представить эту сумму в виде разности суммы ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n}{2^{n-1}}}[/math] и суммы ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2^n}}.[/math] Первая сумма может быть представлена, если я не ошибаюсь, как произведение сумм двух одинаковых сходящихся рядов [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2^{n-1}}}[/math] (эти суммы равны 2), а вторая равна 1. В итоге получается, что искомый предел равен [math]2\cdot 2-1=3.[/math]

Автор:  Avgust [ 14 сен 2012, 19:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Известно, что [math]\sum \limits_{n=1}^{m}\frac{2n-1}{2^n}=\frac{3 \cdot 2^m -2m -3}{2^m}[/math]

Тогда [math]\lim \limits_{m \to \infty} \frac{3 \cdot 2^m -2m -3}{2^m}=3[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/