Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=17916
Страница 1 из 6

Автор:  sanyarichards [ 20 авг 2012, 17:46 ]
Заголовок сообщения:  Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными

Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными, найти предел функции

[math]\lim_{x \to \frac{1}{2}}{\frac{\operatorname{arctg} (2x-1)}{4x^2-1}}[/math]

Автор:  Ellipsoid [ 20 авг 2012, 19:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пoльзуясь метoдом замeны бескoнечно мaлых эквивалeнтными,нaй

Докажите, что [math]\lim_{x \to \frac{1}{2}}{\frac{\operatorname{arctg} (2x-1)}{2x-1}}=1[/math] (используйте первый замечательный предел). Тогда [math]\lim_{x \to \frac{1}{2}}{\frac{\operatorname{arctg}(2x-1)}{4x^2-1}}=\lim_{x \to \frac{1}{2}}{\frac{2x-1}{4x^2-1}}[/math].

Автор:  Avgust [ 20 авг 2012, 23:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными

[math]t=x-\frac 12[/math]

[math]x=t+\frac 12[/math]

[math]\lim \limits _{t \to 0}\frac {\operatorname {arctg}[2(t+\frac 12 )-1]}{2(t+\frac 12)-1}=\lim \limits_{t \to 0} \frac {2t}{2t}=1[/math]

Автор:  Alexdemath [ 21 авг 2012, 00:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными

Если только с помощью замены переменной, то

[math]\begin{gathered}2x - 1 = \operatorname{tg} t \hfill \\x \to \frac{1}{2} \Rightarrow t \to 0 \hfill \\\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{\operatorname{arctg} (2x - 1)}}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{t}{{\operatorname{tg} t}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{\sin t}}{t}} \right)^{ - 1}}\cos t = {1^{ - 1}} \cdot 1 = 1 \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  Yurik [ 21 авг 2012, 11:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными

Арктангенс бесконечно-малой эквивалентен самой бесконечно-малой.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{arctg\left( {2x - 1} \right)}}{{2x - 1}} = \left| {arctg\left( {2x - 1} \right)\,\,\, \sim \,\,\,2x - 1} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{2x - 1}}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} 1 = 1[/math]

Автор:  sanyarichards [ 21 авг 2012, 14:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными

Yurik писал(а):
Арктангенс бесконечно-малой эквивалентен самой бесконечно-малой.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{arctg\left( {2x - 1} \right)}}{{2x - 1}} = \left| {arctg\left( {2x - 1} \right)\,\,\, \sim \,\,\,2x - 1} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{2x - 1}}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} 1 = 1[/math]

аааа,нет подождите!
в знаменателе в изначальном примере же НЕ 2Х-1,а 4х^2 -1!!!!!!!!!!!
у вас самон понятное объяснение!можете помочь с таким пределом?!

Автор:  Avgust [ 21 авг 2012, 15:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными

[math]\lim \limits_{t \to 0} \frac {\operatorname {arctg}[2(t+\frac 12)-1]}{4(t+\frac 12)^2-1}=\lim \limits_{t \to 0}\frac{2t}{4t^2+4t}=\frac 12[/math]

Автор:  Yurik [ 21 авг 2012, 15:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными

sanyarichards писал(а):
аааа,нет подождите!
в знаменателе в изначальном примере же НЕ 2Х-1,а 4х^2 -1!!!!!!!!!!!
у вас самон понятное объяснение!можете помочь с таким пределом?!

[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{arctg\left( {2x - 1} \right)}}{{4{x^2} - 1}} = \left| {arctg\left( {2x - 1} \right)\,\,\, \sim \,\,\,2x - 1} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{2x - 1}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{{2x + 1}} = \frac{1}{2}[/math]

Автор:  sanyarichards [ 21 авг 2012, 16:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными

Yurik писал(а):
sanyarichards писал(а):
аааа,нет подождите!
в знаменателе в изначальном примере же НЕ 2Х-1,а 4х^2 -1!!!!!!!!!!!
у вас самон понятное объяснение!можете помочь с таким пределом?!

[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{arctg\left( {2x - 1} \right)}}{{4{x^2} - 1}} = \left| {arctg\left( {2x - 1} \right)\,\,\, \sim \,\,\,2x - 1} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{2x - 1}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{{2x + 1}} = \frac{1}{2}[/math]

да,точно,блн,я и сама могла это сделать,всё равно спасибо

Автор:  sanyarichards [ 21 авг 2012, 17:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными

Yurik писал(а):
sanyarichards писал(а):
аааа,нет подождите!
в знаменателе в изначальном примере же НЕ 2Х-1,а 4х^2 -1!!!!!!!!!!!
у вас самон понятное объяснение!можете помочь с таким пределом?!

[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{arctg\left( {2x - 1} \right)}}{{4{x^2} - 1}} = \left| {arctg\left( {2x - 1} \right)\,\,\, \sim \,\,\,2x - 1} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{2x - 1}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{{2x + 1}} = \frac{1}{2}[/math]

подскажите,пжл,а этот предел можно как-то другим способом решить?Изображение

Страница 1 из 6 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/