| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Предел функции (доказательство) http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=17904 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Ellipsoid [ 16 авг 2012, 19:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Предел функции (доказательство) |
Пусть [math]\lim_{x \to a}{f(x)}=0[/math] (причём [math]f(x) \not = 0[/math] при [math]x \not = a[/math]), [math]\lim_{x \to a}{g(x)}=b \not = 0[/math]. Доказать, что [math]\lim_{x \to a}{\frac{g(x)}{f(x)}}=\infty[/math]. Как ни крутил, ничего не вышло. Подскажите идею, пожалуйста. |
|
| Автор: | AV_77 [ 16 авг 2012, 19:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел функции (доказательство) |
Так как [math]\lim f(x) = 0[/math] и [math]\lim g(x) \neq 0[/math], то существует такая окрестность [math](a - t, a + t)[/math], что [math]g(x)[/math] в ней ограничена, то есть [math]b - c < g(x) < b + c[/math], а [math]|f(x)| < \delta[/math]. |
|
| Автор: | Ellipsoid [ 16 авг 2012, 19:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел функции (доказательство) |
Cпасибо. Про локальную ограниченность я помню. Мне нужно прийти к неравенству [math]f(x)< \frac{g(x)}{M}[/math]. |
|
| Автор: | AV_77 [ 16 авг 2012, 19:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел функции (доказательство) |
Зачем? Для определенности можно считать, что [math]b > 0[/math]. Тогда [math]g(x) > b - c = A > 0[/math] для некоторого [math]A[/math]. Отсюда [math]\left| \frac{g(x)}{f(x)} \right| > \frac{A}{|f(x)|} > N[/math] при [math]f(x) < \frac{N}{A}[/math]. Осталось только аккуратно с окрестностями разобраться. |
|
| Автор: | Ellipsoid [ 16 авг 2012, 19:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел функции (доказательство) |
Понятно. А если [math]b>0[/math]? |
|
| Автор: | AV_77 [ 16 авг 2012, 20:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Предел функции (доказательство) |
То же самое будет. Из ограниченности [math]g(x)[/math] следует, что в некоторой окрестности [math]a[/math] выполняются неравенства [math]0 < c_1 < |g(x)| < c_2[/math]. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|