Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел функции (доказательство)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=17904
Страница 1 из 1

Автор:  Ellipsoid [ 16 авг 2012, 19:02 ]
Заголовок сообщения:  Предел функции (доказательство)

Пусть [math]\lim_{x \to a}{f(x)}=0[/math] (причём [math]f(x) \not = 0[/math] при [math]x \not = a[/math]), [math]\lim_{x \to a}{g(x)}=b \not = 0[/math]. Доказать, что [math]\lim_{x \to a}{\frac{g(x)}{f(x)}}=\infty[/math].

Как ни крутил, ничего не вышло. Подскажите идею, пожалуйста.

Автор:  AV_77 [ 16 авг 2012, 19:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функции (доказательство)

Так как [math]\lim f(x) = 0[/math] и [math]\lim g(x) \neq 0[/math], то существует такая окрестность [math](a - t, a + t)[/math], что [math]g(x)[/math] в ней ограничена, то есть [math]b - c < g(x) < b + c[/math], а [math]|f(x)| < \delta[/math].

Автор:  Ellipsoid [ 16 авг 2012, 19:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функции (доказательство)

Cпасибо. Про локальную ограниченность я помню. Мне нужно прийти к неравенству [math]f(x)< \frac{g(x)}{M}[/math].

Автор:  AV_77 [ 16 авг 2012, 19:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функции (доказательство)

Зачем? Для определенности можно считать, что [math]b > 0[/math]. Тогда [math]g(x) > b - c = A > 0[/math] для некоторого [math]A[/math]. Отсюда
[math]\left| \frac{g(x)}{f(x)} \right| > \frac{A}{|f(x)|} > N[/math]
при [math]f(x) < \frac{N}{A}[/math].
Осталось только аккуратно с окрестностями разобраться.

Автор:  Ellipsoid [ 16 авг 2012, 19:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функции (доказательство)

Понятно. А если [math]b>0[/math]?

Автор:  AV_77 [ 16 авг 2012, 20:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функции (доказательство)

То же самое будет. Из ограниченности [math]g(x)[/math] следует, что в некоторой окрестности [math]a[/math] выполняются неравенства [math]0 < c_1 < |g(x)| < c_2[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/