Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел последовательности (как проще доказать?)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=17863
Страница 1 из 1

Автор:  Human [ 30 июл 2012, 15:19 ]
Заголовок сообщения:  Предел последовательности (как проще доказать?)

Доказать, что последовательность [math]x_n=\cos n[/math] расходится.

[spoiler=Моё док-во]Построим вспомогательную натуральную последовательность [math]n_k[/math] следующим образом. Для каждого натурального [math]k[/math] рассмотрим интервал [math]\left(\frac{\pi}6+2\pi k,\frac{\pi}2+2\pi k\right)[/math]. Его длина [math]\frac{\pi}2-\frac{\pi}6=\frac{\pi}3>1[/math], поэтому на этом интервале лежит хотя бы одна натуральная точка. Обозначим её [math]n_k[/math]. Заметим, что последовательность [math]n_k[/math] бесконечно большая, и что [math]\sin{n_k}>\sin\frac{\pi}6=\frac12[/math].

Выберем для произвольного натурального числа [math]N[/math] такое число [math]k[/math], что [math]n_k-1>N[/math](такое число найдётся в силу бесконечной "бОльшести" последовательности [math]n_k[/math]). Обозначим также [math]m=n_k-1[/math] и [math]n=n_k+1[/math]. Тогда

[math]|\cos n-\cos m|=2\left|\sin\frac{n+m}2\sin\frac{n-m}2\right|=2\sin n_k\sin1>\sin1[/math]

Таким образом существует [math]\varepsilon=\sin1[/math], такое что при любом [math]N[/math] существуют не меньшие номера [math]m[/math] и [math]n[/math], для которых выполнено неравенство [math]|\cos n-\cos m|>\varepsilon[/math], значит по отрицанию критерия Коши последовательность [math]\cos n[/math] расходится.[/spoiler]

Меня не устраивает то, что пришлось вводить вспомогательную последовательность, и то, что "повезло" с длинами интервалов. Может есть что попроще?

Автор:  Ellipsoid [ 30 июл 2012, 18:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел последовательности (как проще доказать?)

Human писал(а):
Может есть что попроще?


От противного. Пусть [math]\{ \cos n \}[/math] сходится. Тогда [math]\lim_{n \to \infty}{ \cos n}=\lim_{n \to \infty}{\cos (n+2)}[/math]...

Автор:  Ellipsoid [ 30 июл 2012, 21:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел последовательности (как проще доказать?)

Далее: [math]\lim_{n \to \infty}{( \cos (n+2) - \cos n )}=0 \ \Rightarrow \ \lim_{n \to \infty}{\sin (n+1)}=0[/math]. Но тогда и [math]\lim_{n \to \infty}{\sin n}=0[/math].

Т.к. [math]\sin (n+1)=\sin n \cos 1 + \cos n \sin 1[/math],

то [math]\cos n = \frac{\sin(n+1)- \sin n \cos 1}{\sin 1}[/math] и [math]\lim_{ n \to \infty}{\cos n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\sin(n+1)- \sin n \cos 1}{\sin 1}=0[/math], значит, [math]\lim_{n \to \infty}{\cos n}= \lim_{n \to \infty}{\sin n}=0[/math],

что противоречит основному тригонометрическому тождеству.

Автор:  Human [ 31 июл 2012, 07:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел последовательности (как проще доказать?)

Ellipsoid, красиво :) Относительно проще критерия Коши.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/