Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать неограниченность ч.п. (для Ellipsoid'a)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=17859
Страница 1 из 1

Автор:  Uncle Fedor [ 26 июл 2012, 22:42 ]
Заголовок сообщения:  Доказать неограниченность ч.п. (для Ellipsoid'a)

Задача.
Докажите, что если [math]\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = \infty[/math] , то последовательность [math]{z_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {{x_n}}[/math] является неограниченной.

Автор:  Human [ 27 июл 2012, 11:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать неограниченность ч.п. (для Ellipsoid'a)

Для неограниченных [math]x_n[/math] условие задачи тоже верно.

Автор:  Ellipsoid [ 27 июл 2012, 11:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать неограниченность ч.п. (для Ellipsoid'a)

Цитата:
для Ellipsoid'a

Спасибо. :D1

Автор:  Ellipsoid [ 28 июл 2012, 09:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать неограниченность ч.п. (для Ellipsoid'a)

Дано:

[math](\forall M>0) \ ( \exists n_o \in \mathbb{N}) \ (\forall n \geq n_0) \ (|x_n|>M )[/math].

Доказать:

[math](\forall M>0) \ ( \exists n \in \mathbb{N}) \ (|x_1+x_2+...+x_n|>M )[/math].

Неравенство [math]M<|x_1+x_2+...+x_n|[/math] будет следовать из [math]M<|x_n|[/math], если [math]|x_n|<|x_1+x_2+...+x_n|[/math]. Но доказать последнее неравенство пока не удалось.

Автор:  Human [ 28 июл 2012, 10:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать неограниченность ч.п. (для Ellipsoid'a)

Потому что в общем случае оно неверно. А вот, например, неравенство

[math]|x_n|=|z_n-z_{n-1}|\leqslant|z_n|+|z_{n-1}|[/math]

при [math]n\geqslant2[/math] уже справедливо.

Автор:  Human [ 31 июл 2012, 07:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать неограниченность ч.п. (для Ellipsoid'a)

Три дня прошло, а Ellipsoid всё молчит...
Может ещё подсказку дать?

Автор:  Ellipsoid [ 31 июл 2012, 08:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать неограниченность ч.п. (для Ellipsoid'a)

Нутром чую, что пол-литра, а доказать не могу. :D1

Автор:  Human [ 31 июл 2012, 08:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать неограниченность ч.п. (для Ellipsoid'a)

Ellipsoid

Буду считать, что это "да".

[math]|x_n|\leqslant2\max\{|z_n|,|z_{n-1}|\}[/math], откуда [math]\max\{|z_n|,|z_{n-1}|\}\geqslant\frac{|x_n|}2>\frac{M}2[/math].

Автор:  Ellipsoid [ 01 авг 2012, 20:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать неограниченность ч.п. (для Ellipsoid'a)

Не понял. :unknown:

Автор:  Human [ 07 авг 2012, 16:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать неограниченность ч.п. (для Ellipsoid'a)

Ellipsoid писал(а):
Не понял.


Ладно, пожалуй, напишу подробно.

Выберем произвольное [math]M>0[/math]. По условию, для числа [math]2M>0[/math] найдётся номер [math]n_0[/math] такой, что [math]|x_{n_0}|>2M[/math]. Если [math]n_0=1[/math], то [math]z_{n_0}=x_{n_0}[/math], поэтому для номера [math]n_0=1[/math] выполнено неравенство [math]|z_{n_0}|>2M>M[/math]. Пусть теперь [math]n_0\geqslant2[/math]. Тогда [math]x_{n_0}=z_{n_0}-z_{n_0-1}[/math]. Пользуясь стандартным неравенством [math]|A+B|\leqslant|A|+|B|[/math], получим оценку: [math]|x_{n_0}|=|z_{n_0}-z_{n_0-1}|\leqslant|z_{n_0}|+|z_{n_0-1}|[/math]. Выберем теперь среди чисел [math]|z_{n_0}|[/math] и [math]|z_{n_0-1}|[/math] наибольшее, и пусть его номер равен [math]N[/math]. Тогда [math]|z_{n_0}|+|z_{n_0-1}|\leqslant2|z_N|[/math], и значит [math]|z_N|\geqslant\frac{|x_{n_0}|}2>M[/math].

Таким образом, мы для любого [math]M>0[/math] нашли номер [math]N[/math] такой, что [math]|z_N|\geqslant M[/math], значит последовательность [math]z_n[/math] неограниченна.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/