Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача на доказательство-2
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=17856
Страница 1 из 2

Автор:  Ellipsoid [ 26 июл 2012, 18:26 ]
Заголовок сообщения:  Задача на доказательство-2

Известно, что [math]x_n>0[/math]. Доказать, что [math]\lim_{n \to \infty}{x_n}=3[/math], если [math]\lim_{n \to \infty}{(x_n^2-x_n)}=6[/math].

Дано:
1) [math]( \forall \varepsilon>0 ) \ ( \exists N_1 \in \mathbb{N} ) \ ( \forall n \geq N_1) \ (|x_n^2-x_n-6| < \varepsilon )[/math];
2) [math]x_n>0[/math].

Нужно доказать:
[math]( \forall \varepsilon'>0 ) \ ( \exists N_2 \in \mathbb{N} ) \ ( \forall n \geq N_2) \ (|x_n-3| < \varepsilon' )[/math].

Учитывая, что из [math]x_n>0[/math] cледует [math]|x_n+2|>0[/math], возьмём [math]\varepsilon= \varepsilon'|x_n+2|[/math]. Тогда утверждение доказано. Верно?

P.S. Cмущает то, что [math]\varepsilon[/math] - произвольное положительное число, а оно равно [math]\varepsilon'|x_n+2|[/math], где [math]x_n[/math] - член последовательности [math]\{x_n \}[/math]. Наверное, зря смущает (число-то произвольное).

Автор:  Uncle Fedor [ 26 июл 2012, 19:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на доказательство-2

Можно так:

Изображение

Автор:  Ellipsoid [ 26 июл 2012, 19:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на доказательство-2

Uncle Fedor, спасибо.

Автор:  Uncle Fedor [ 26 июл 2012, 19:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на доказательство-2

Пожалуйста! :)

Автор:  Ellipsoid [ 26 июл 2012, 20:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на доказательство-2

Вот только не пойму, зачем брать [math]\varepsilon_1=2\varepsilon[/math]? Разве не выполняется [math]|x_n-3|<|x_n+2| \cdot |x_n-3|[/math]?

Автор:  Uncle Fedor [ 26 июл 2012, 20:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на доказательство-2

Ellipsoid писал(а):
Вот только не пойму, зачем брать [math]\varepsilon_1=2\varepsilon[/math]? Разве не выполняется [math]|x_n-3|<|x_n+2| \cdot |x_n-3|[/math]?

Можно и так! Так даже лучше! :good:
Тогда вообще не нужно вводить число [math]{\varepsilon _1}[/math].

Автор:  Ellipsoid [ 26 июл 2012, 20:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на доказательство-2

А зачем Вы вводили [math]\varepsilon_1[/math]?

Автор:  Uncle Fedor [ 26 июл 2012, 20:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на доказательство-2

Ellipsoid писал(а):
А зачем Вы вводили [math]\varepsilon_1[/math]?

Да это первое, что мне в голову пришло. Если не удаётся сразу решить поставленную задачу, то я пытаюсь её решить хоть как-нибудь, чтобы хоть какое-то решение было. А потом, если удаётся, я начинаю это решение улучшать, причёсывать.
Только Вы меня опередили, улучшили мой решение. Вот теперь каким оно получилось:

Изображение

Автор:  Ellipsoid [ 26 июл 2012, 20:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на доказательство-2

Получается, что из [math]\lim_{n \to \infty}{(x_n^2-x_n)}=6[/math] и [math]x_n>0[/math] сразу получаем [math]|x_n-3|<|x_n^2-x_n-6|< \varepsilon[/math] и [math]|x_n-3|< \varepsilon[/math]?

Автор:  Ellipsoid [ 26 июл 2012, 20:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на доказательство-2

Оказывается, всё очень просто... Спасибо.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/