| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Задача на доказательство-2 http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=17856 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | Ellipsoid [ 26 июл 2012, 18:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Задача на доказательство-2 |
Известно, что [math]x_n>0[/math]. Доказать, что [math]\lim_{n \to \infty}{x_n}=3[/math], если [math]\lim_{n \to \infty}{(x_n^2-x_n)}=6[/math]. Дано: 1) [math]( \forall \varepsilon>0 ) \ ( \exists N_1 \in \mathbb{N} ) \ ( \forall n \geq N_1) \ (|x_n^2-x_n-6| < \varepsilon )[/math]; 2) [math]x_n>0[/math]. Нужно доказать: [math]( \forall \varepsilon'>0 ) \ ( \exists N_2 \in \mathbb{N} ) \ ( \forall n \geq N_2) \ (|x_n-3| < \varepsilon' )[/math]. Учитывая, что из [math]x_n>0[/math] cледует [math]|x_n+2|>0[/math], возьмём [math]\varepsilon= \varepsilon'|x_n+2|[/math]. Тогда утверждение доказано. Верно? P.S. Cмущает то, что [math]\varepsilon[/math] - произвольное положительное число, а оно равно [math]\varepsilon'|x_n+2|[/math], где [math]x_n[/math] - член последовательности [math]\{x_n \}[/math]. Наверное, зря смущает (число-то произвольное). |
|
| Автор: | Uncle Fedor [ 26 июл 2012, 19:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача на доказательство-2 |
Можно так: |
|
| Автор: | Ellipsoid [ 26 июл 2012, 19:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача на доказательство-2 |
Uncle Fedor, спасибо. |
|
| Автор: | Uncle Fedor [ 26 июл 2012, 19:57 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача на доказательство-2 |
Пожалуйста!
|
|
| Автор: | Ellipsoid [ 26 июл 2012, 20:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача на доказательство-2 |
Вот только не пойму, зачем брать [math]\varepsilon_1=2\varepsilon[/math]? Разве не выполняется [math]|x_n-3|<|x_n+2| \cdot |x_n-3|[/math]? |
|
| Автор: | Uncle Fedor [ 26 июл 2012, 20:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача на доказательство-2 |
Ellipsoid писал(а): Вот только не пойму, зачем брать [math]\varepsilon_1=2\varepsilon[/math]? Разве не выполняется [math]|x_n-3|<|x_n+2| \cdot |x_n-3|[/math]? Можно и так! Так даже лучше! ![]() Тогда вообще не нужно вводить число [math]{\varepsilon _1}[/math]. |
|
| Автор: | Ellipsoid [ 26 июл 2012, 20:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача на доказательство-2 |
А зачем Вы вводили [math]\varepsilon_1[/math]? |
|
| Автор: | Ellipsoid [ 26 июл 2012, 20:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача на доказательство-2 |
Получается, что из [math]\lim_{n \to \infty}{(x_n^2-x_n)}=6[/math] и [math]x_n>0[/math] сразу получаем [math]|x_n-3|<|x_n^2-x_n-6|< \varepsilon[/math] и [math]|x_n-3|< \varepsilon[/math]? |
|
| Автор: | Ellipsoid [ 26 июл 2012, 20:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача на доказательство-2 |
Оказывается, всё очень просто... Спасибо. |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|