Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача на доказательство-2
СообщениеДобавлено: 26 июл 2012, 18:26 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4433
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Известно, что [math]x_n>0[/math]. Доказать, что [math]\lim_{n \to \infty}{x_n}=3[/math], если [math]\lim_{n \to \infty}{(x_n^2-x_n)}=6[/math].

Дано:
1) [math]( \forall \varepsilon>0 ) \ ( \exists N_1 \in \mathbb{N} ) \ ( \forall n \geq N_1) \ (|x_n^2-x_n-6| < \varepsilon )[/math];
2) [math]x_n>0[/math].

Нужно доказать:
[math]( \forall \varepsilon'>0 ) \ ( \exists N_2 \in \mathbb{N} ) \ ( \forall n \geq N_2) \ (|x_n-3| < \varepsilon' )[/math].

Учитывая, что из [math]x_n>0[/math] cледует [math]|x_n+2|>0[/math], возьмём [math]\varepsilon= \varepsilon'|x_n+2|[/math]. Тогда утверждение доказано. Верно?

P.S. Cмущает то, что [math]\varepsilon[/math] - произвольное положительное число, а оно равно [math]\varepsilon'|x_n+2|[/math], где [math]x_n[/math] - член последовательности [math]\{x_n \}[/math]. Наверное, зря смущает (число-то произвольное).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на доказательство-2
СообщениеДобавлено: 26 июл 2012, 19:46 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 00:53
Сообщений: 1391
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
984 раз в 642 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно так:

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали:
Ellipsoid
 Заголовок сообщения: Re: Задача на доказательство-2
СообщениеДобавлено: 26 июл 2012, 19:53 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4433
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Uncle Fedor, спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на доказательство-2
СообщениеДобавлено: 26 июл 2012, 19:57 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 00:53
Сообщений: 1391
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
984 раз в 642 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пожалуйста! :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на доказательство-2
СообщениеДобавлено: 26 июл 2012, 20:06 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4433
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот только не пойму, зачем брать [math]\varepsilon_1=2\varepsilon[/math]? Разве не выполняется [math]|x_n-3|<|x_n+2| \cdot |x_n-3|[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на доказательство-2
СообщениеДобавлено: 26 июл 2012, 20:17 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 00:53
Сообщений: 1391
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
984 раз в 642 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ellipsoid писал(а):
Вот только не пойму, зачем брать [math]\varepsilon_1=2\varepsilon[/math]? Разве не выполняется [math]|x_n-3|<|x_n+2| \cdot |x_n-3|[/math]?

Можно и так! Так даже лучше! :good:
Тогда вообще не нужно вводить число [math]{\varepsilon _1}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали:
Ellipsoid
 Заголовок сообщения: Re: Задача на доказательство-2
СообщениеДобавлено: 26 июл 2012, 20:19 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4433
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А зачем Вы вводили [math]\varepsilon_1[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на доказательство-2
СообщениеДобавлено: 26 июл 2012, 20:25 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 00:53
Сообщений: 1391
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
984 раз в 642 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ellipsoid писал(а):
А зачем Вы вводили [math]\varepsilon_1[/math]?

Да это первое, что мне в голову пришло. Если не удаётся сразу решить поставленную задачу, то я пытаюсь её решить хоть как-нибудь, чтобы хоть какое-то решение было. А потом, если удаётся, я начинаю это решение улучшать, причёсывать.
Только Вы меня опередили, улучшили мой решение. Вот теперь каким оно получилось:

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали:
Ellipsoid
 Заголовок сообщения: Re: Задача на доказательство-2
СообщениеДобавлено: 26 июл 2012, 20:27 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4433
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Получается, что из [math]\lim_{n \to \infty}{(x_n^2-x_n)}=6[/math] и [math]x_n>0[/math] сразу получаем [math]|x_n-3|<|x_n^2-x_n-6|< \varepsilon[/math] и [math]|x_n-3|< \varepsilon[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на доказательство-2
СообщениеДобавлено: 26 июл 2012, 20:28 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4433
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Оказывается, всё очень просто... Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача на доказательство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

R136a1

6

290

15 май 2022, 16:25

Задача на доказательство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

420

1

351

17 июн 2015, 15:35

Задача на доказательство

в форуме Теория вероятностей

ks17exs

15

867

30 мар 2023, 11:45

Задача на доказательство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

R136a1

24

704

05 дек 2021, 18:33

Задача на доказательство

в форуме Геометрия

Ilitan

5

530

14 дек 2015, 15:18

Задача на доказательство

в форуме Алгебра

glassen

4

461

28 сен 2017, 19:15

Задача на доказательство

в форуме Дифференциальное исчисление

R136a1

0

204

29 апр 2022, 21:46

Задача на доказательство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

R136a1

9

392

24 дек 2021, 02:17

Задача на доказательство

в форуме Геометрия

Maliep

4

877

28 янв 2018, 07:15

Задача на доказательство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

R136a1

6

338

30 ноя 2021, 02:44


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved