| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Задача на доказательство http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=17847 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Ellipsoid [ 24 июл 2012, 23:45 ] |
| Заголовок сообщения: | Задача на доказательство |
Пусть [math]\lim_{n \to \infty}{x_n}=b \not=0; \ \lim_{n \to \infty}{y_n}=0 \ (y_n \not = 0)[/math]. Доказать, что [math]\lim_{ n \to \infty}{\frac{x_n}{y_n}}=\infty[/math]. Дано: 1) [math](\forall \varepsilon>0) \ (\exists N_1 \in \mathbb{N} )\ (\forall n \geq N_1 )\ (|x_n-b|< \varepsilon); \ b \not=0[/math]; 2) [math](\forall \varepsilon>0) \ (\exists N_2 \in \mathbb{N} )\ (\forall n \geq N_2 )\ (|y_n|< \varepsilon); \ y_n \not=0[/math]. Нужно доказать: [math](\forall K>0) \ (\exists N \in \mathbb{N} )\ (\forall n \geq N )\ \left(\left|\frac{x_n}{y_n}\right|> K\right)[/math]. Ясно, что [math](\exists C>0) \ (|x_n|<c)[/math] и [math]\left(\left|\frac{1}{y_n}\right| >\frac{1}{\varepsilon} \right)[/math]. Но как из этого вывести [math]\left|\frac{x_n}{y_n}\right|> K[/math]? |
|
| Автор: | arkadiikirsanov [ 25 июл 2012, 00:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача на доказательство |
Условие [math]|\frac{x_n}{y_n}|> K[/math] равносильно условию [math]|{x_n}|>K|{y_n}|[/math], но [math]K|{y_n}|[/math] - бесконечно малая последовательность, а из условия [math](\forall \varepsilon>0) \ (\exists N_1 \in \mathbb{N} )\ (\forall n \geq N_1 )\ (|x_n-b|< \varepsilon); \ b \not=0[/math] при [math]\varepsilon=0.5\cdot|b|[/math] следует, что с некоторого номера [math]|{x_n}|>0.5\cdot|b|[/math], откуда и вытекает требуемое неравенство [math]|{x_n}|>K|{y_n}|[/math]. |
|
| Автор: | Ellipsoid [ 25 июл 2012, 20:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача на доказательство |
Только непонятно, как из [math]|x_n-b|>\frac{|b|}{2}[/math] получить [math]|x_n|>\frac{|b|}{2}[/math] и как иэ этого следует [math]|x_n|> K |y_n|[/math]. [math]K[/math] - произвольное положительное число, а [math]|y_n|[/math] меньше любого положительного числа. Понятно. Значит,[math]\frac{|b|}{2} \not =0[/math] заведомо больше [math]K|y_n|[/math]. Тогда из [math]|x_n|>\frac{|b|}{2}[/math] следует [math]|x_n|> K |y_n|[/math]. C этим ясно. Остался первый пункт. Из [math]|x_n-b|<\frac{|b|}{2}[/math] получаем [math]x_n>b-\frac{|b|}{2}[/math]. Если [math]b>0[/math], то [math]x_n>\frac{b}{2}[/math]; если [math]b<0[/math], то [math]x_n>\frac{3b}{2}[/math]. Cледовательно, [math]|x_n|>\frac{|b|}{2}[/math]? По-моему, неправильно. |
|
| Автор: | arkadiikirsanov [ 25 июл 2012, 20:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача на доказательство |
Неравенство [math]|x_n-b|<\frac{|b|}{2}[/math] означает, что расстояние от [math]x_n[/math] до [math]b[/math] меньше [math]\frac{|b|}{2}[/math], и тогда точка [math]x_n[/math] не может приблизиться к 0 на расстояние, которое меньше [math]|\frac{|b|}{2}[/math] -это противоречило бы неравенству треугольника. |
|
| Автор: | Ellipsoid [ 26 июл 2012, 09:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача на доказательство |
Понятно. Спасибо. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|