| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Верхний предел функции http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=17839 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Human [ 24 июл 2012, 12:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Верхний предел функции |
Докажите, что [math]\overline{\lim\limits_{x\to\infty}}(\cos x+\sin\sqrt2 x)=2[/math] Идея была такая: если верхний предел равен 2, то это значит, что вершины "холмов" графиков функций [math]\cos x[/math] и [math]\sin\sqrt2 x[/math] могут находиться сколь угодно близко друг к другу. Поскольку абсциссы этих точек для косинуса имеют вид [math]x=2\pi n[/math], то, взяв [math]x_k=2\pi n_k[/math], где [math]n_k[/math] - некоторая бесконечно большая последовательность натуральных чисел, получим: [math]|\cos x_k+\sin\sqrt2 x_k-2|=\left|\sin\left(2\sqrt2\pi n_k\right)-\sin\left(\frac{\pi}2+2\pi m_k\right)\right|\leqslant\left|2\sqrt2\pi n_k-\frac{\pi}2-2\pi m_k\right|\leqslant[/math] [math]\leqslant\frac{\pi}2\left|4\sqrt2n_k-1-4m_k\right|[/math] где [math]m_k[/math] - ещё одна бесконечно большая последовательность натуральных чисел. Проблема состоит, собственно, в доказательстве существования таких последовательностей [math]m_k[/math] и [math]n_k[/math], что [math]4\sqrt2n_k-1-4m_k\to0[/math] при [math]k\to\infty[/math]. Поиск по интернету навёл меня на мысль о доказательстве аналогичного утверждения, но для выражения [math]\sqrt2n_k-m_k[/math]. А именно нужно рассмотреть уравнение Пелля [math]m^2-2n^2=1[/math]. Оно, как меня уверила Википедия, имеет бесконечно много натуральных решений, причём решения могут быть сколь угодно большими. Значит, существуют такие бесконечно большие последовательности [math]m_k[/math] и [math]n_k[/math], что [math]m_k^2-2n_k^2=1[/math]. Тогда [math]m_k-\sqrt2n_k=\frac1{m_k+\sqrt2n_k}\to0[/math], ч. и т. д. Для моего случая уравнение будет выглядеть как-то так: [math](4m+1)^2-32n^2=a[/math], где [math]a[/math] некоторое целое число. Обращаюсь за помощью к знатокам теории чисел: может ли это уравнение при некотором [math]a[/math] иметь бесконечно много бесконечно больших натуральных решений? Прошу также высказать альтернативные идеи по решению исходного задания. |
|
| Автор: | arkadiikirsanov [ 24 июл 2012, 15:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Верхний предел функции |
Думаю, проще воспользоваться теоремой Дириле, тривиально выводимой из "ящичного" принципа Дирихле: Для каждой пары вещественных чисел [math]t[/math] и [math]r\ge1[/math] найдется рациональная дробь [math]\frac{p}{q}[/math], для которой [math]|t-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q{\cdot}r}[/math], в частности, для каждого [math]r\ge1[/math] найдется четное число [math]2q[/math], для которого при некотором четном [math]2p[/math] будет верно неравенство: [math]|2q\cdot{\sqrt{2}}-2p|<\frac{1}{r}[/math], и этого хватит для получения частичного предела =2. |
|
| Автор: | Alexdemath [ 24 июл 2012, 18:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Верхний предел функции |
Human писал(а): Какая в [math]\TeX[/math]е команда для набора верхнего предела? Сразу под формой ответа увидите Редактор формул, нажмите на него и выберите вкладку Пределы и производные. |
|
| Автор: | Human [ 25 июл 2012, 01:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Верхний предел функции |
arkadiikirsanov Спасибо за скорый ответ. arkadiikirsanov писал(а): [math]|2q\cdot{\sqrt{2}}-2p|<\frac{1}{r}[/math] и этого хватит для получения частичного предела =2. Это неравенство я фактически и так получил из уравнения Пелля. Вы не могли бы подробнее расписать, как из него получить утверждение задачи? Пытался взять на вооружение предложенную Вами теорему, но столкнулся с проблемой: для обоснования моего неравенства [math]\left|4\sqrt2n_k-1-4m_k\right|<\varepsilon[/math] числа [math]q[/math] и [math]p[/math] должны иметь строго определённый вид (одно должно делиться на 4, другое давать в остатке 1), а теорема это игнорирует. Alexdemath Прошу прощения, забыл, что тут есть редактор, привык всё в [math]\TeX[/math]е писать вручную А он заметно изменился с тех пор, как я в последний раз в него заглядывал
|
|
| Автор: | arkadiikirsanov [ 25 июл 2012, 20:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Верхний предел функции |
Беда в том, что я только мельком посмотрел на условие и на природе решал другую задачу - доказывал аналогичное утверждение не для суммы косинуса и синуса, а для суммы двух косинусов... Для суммы косинуса и синуса, как Вы и писали, ситуация несколько сложнее, и пока я не уверен, что верхний предел вообще равен 2, хотя хочется в это верить. |
|
| Автор: | Human [ 25 июл 2012, 20:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Верхний предел функции |
Задача взята из первого тома задачника Кудрявцева последнего издания, причём она самая последняя в главе про предел функции. Она меня уже четвёртый день мучает
|
|
| Автор: | arkadiikirsanov [ 25 июл 2012, 20:57 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Верхний предел функции |
Вы правы в том, что, похоже, намеренно, или случайно, но Кудрявцев здесь влез в довольно тонкие факты элементарной теории диофантовых приближений. Рискну предположить, что сначала речь предполагалось вести именно о сумме косинусов, но потом, не особо проверяя решабельность, второй косинус махнули на синус, вот и родилось "чудовище Кудрявцева". Я тоже поразмышлял, но быстро ничего не придумалось. Но возможно и то, что мы не догадываемся применить чего-то почти очевидного, типа всюду плотности на единичном отрезке дробных частей последовательности [math]n\sqrt{2}[/math].... |
|
| Автор: | Human [ 25 июл 2012, 21:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Верхний предел функции |
Я тут немножко поисследовал решения уравнения [math]m^2-2n^2=1[/math] и с облегчением обнаружил следующее. Все решения этого уравнения, если верить Википедии, задаются рекуррентными соотношениями [math]m_{k+1}=3m_k+4n_k,\ n_{k+1}=2m_k+3n_k,\ m_1=3,\ n_1=2[/math] (можно подставить их в уравнение и убедиться, что всё нормально). Если их внимательно поизучать, то можно заметить, что [math]m_{2k}\equiv1\pmod4[/math] и [math]n_{2k}\equiv0\pmod4[/math], а это как раз то, что мне нужно. Повезло
|
|
| Автор: | arkadiikirsanov [ 25 июл 2012, 21:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Верхний предел функции |
Да, повезло.. В любом случае, получается, что это задача не на начала математического анализа, а на элементарную теорию чисел. Да и я сильно сомневаюсь, что нынешний среднестатистический мех-матянин-первокур "асилит" такую задачу. |
|
| Автор: | Prokop [ 26 июл 2012, 09:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Верхний предел функции |
Дорога ложка к обеду. Однако, если записать [math]\sqrt 2[/math] в виде непрерывной дроби [math]\sqrt 2 = \left[ {1;2,2, \ldots } \right][/math], то последовательность подходящих дробей [math]x_0 = 1,\;x_1 = 1.5,\;x_2 = 1.4,\; \cdots[/math] обладает тем свойством, что [math]x_{3 + 4n} = \frac{{4p_n + 1}}{{4q_n }}[/math], где [math]\left\{ {p_n } \right\}[/math], [math]\left\{ {p_n } \right\}[/math] возрастающие последовательности натуральных чисел (в этом можно убедиться с помощью математической индукции). |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|