Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел числовой последовательности
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=16513
Страница 1 из 1

Автор:  sergey250962 [ 27 апр 2012, 23:00 ]
Заголовок сообщения:  Предел числовой последовательности

lim(n!/n^n)

Автор:  sergey250962 [ 27 апр 2012, 23:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: предел числовой последовательности

Значит ряд ((-1)^(n+1))*(n!/n^n) расходится?

Автор:  igor_vis [ 28 апр 2012, 00:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: предел числовой последовательности

sergey250962 писал(а):
Значит ряд ((-1)^(n+1))*(n!/n^n) расходится?

знакопеременный ряд, указанный Вами, сходится и (мне кажется) даже сходится абсолютно
Вы не заметили множитель e^(-n)? который остается после использования формулы Стирлинга и сокращения n^n

Автор:  Ellipsoid [ 26 июл 2012, 19:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: предел числовой последовательности

Мне кажется, для вычисления предела [math]\lim_{n \to \infty}{\frac{n!}{n^n}}[/math] можно использовать необходимый признак сходимости числовых рядов. Рассмотрим ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}[/math]. Исследуем его с помощью признака Даламбера в предельной форме: [math]\lim_{n \to \infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\lim_{n \to \infty}{\frac{(n+1)! \cdot n^n}{(n+1)^{n+1} \cdot n!}}=\lim_{n \to \infty}{\left( \frac{n}{n+1} \right)^n}=\lim_{n \to \infty}{\left(1+\frac{1}{-(n+1)} \right)^{-(n+1)\frac{n}{-(n+1)}}}=e^{\lim_{n \to \infty}{\frac{-n}{n+1}}}=\frac{1}{e}<1[/math]. Значит, ряд сходится, тогда [math]\lim_{n \to \infty}{\frac{n!}{n^n}}=0[/math].

Автор:  Human [ 27 июл 2012, 11:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: предел числовой последовательности

[math]\frac{n!}{n^n}=\frac1n\cdot\frac2n\cdot\ldots\cdot\frac{n-1}n\cdot\frac n n\leqslant\frac1n\to0[/math]

И никаких Стирлингов и рядов.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/