| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Предел числовой последовательности http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=16513 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | sergey250962 [ 27 апр 2012, 23:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Предел числовой последовательности |
lim(n!/n^n) |
|
| Автор: | sergey250962 [ 27 апр 2012, 23:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: предел числовой последовательности |
Значит ряд ((-1)^(n+1))*(n!/n^n) расходится? |
|
| Автор: | igor_vis [ 28 апр 2012, 00:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: предел числовой последовательности |
sergey250962 писал(а): Значит ряд ((-1)^(n+1))*(n!/n^n) расходится? знакопеременный ряд, указанный Вами, сходится и (мне кажется) даже сходится абсолютно Вы не заметили множитель e^(-n)? который остается после использования формулы Стирлинга и сокращения n^n |
|
| Автор: | Ellipsoid [ 26 июл 2012, 19:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: предел числовой последовательности |
Мне кажется, для вычисления предела [math]\lim_{n \to \infty}{\frac{n!}{n^n}}[/math] можно использовать необходимый признак сходимости числовых рядов. Рассмотрим ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}[/math]. Исследуем его с помощью признака Даламбера в предельной форме: [math]\lim_{n \to \infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\lim_{n \to \infty}{\frac{(n+1)! \cdot n^n}{(n+1)^{n+1} \cdot n!}}=\lim_{n \to \infty}{\left( \frac{n}{n+1} \right)^n}=\lim_{n \to \infty}{\left(1+\frac{1}{-(n+1)} \right)^{-(n+1)\frac{n}{-(n+1)}}}=e^{\lim_{n \to \infty}{\frac{-n}{n+1}}}=\frac{1}{e}<1[/math]. Значит, ряд сходится, тогда [math]\lim_{n \to \infty}{\frac{n!}{n^n}}=0[/math]. |
|
| Автор: | Human [ 27 июл 2012, 11:05 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: предел числовой последовательности |
[math]\frac{n!}{n^n}=\frac1n\cdot\frac2n\cdot\ldots\cdot\frac{n-1}n\cdot\frac n n\leqslant\frac1n\to0[/math] И никаких Стирлингов и рядов. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|