Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить пределы последовательностей и функций
СообщениеДобавлено: 05 ноя 2010, 17:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 окт 2010, 16:48
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При вычислении пределов запрещено пользоваться правилом Лопиталя.
Спасибо :)

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить пределы последовательностей и функций
СообщениеДобавлено: 05 ноя 2010, 17:35 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
2) найти корни многочленов в числителе и знаменателе, сократить дроби;
3) поделить числитель и знаменатель на [math]x^4[/math];
4) умножить числитель и знаменатель на [math]\sqrt{x-1}+2[/math];
5) умножить и разделить функцию на [math]\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}[/math], вынести за скобки члены наивысших степеней (аналогично п.3);
6) 1-й замечательный предел;
7) найти корни знаменателя, 1-й замечательный предел;
8 ) 2-й замечательный предел;
9) 2-й замечательный предел (в другой форме);
10) эквивалентные бесконечно малые.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Ellipsoid "Спасибо" сказали:
Slayerepix
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить пределы последовательностей и функций
СообщениеДобавлено: 05 ноя 2010, 17:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 окт 2010, 16:48
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В 3 пункте получится 0/1 = 0 ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить пределы последовательностей и функций
СообщениеДобавлено: 05 ноя 2010, 17:43 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 окт 2010, 16:48
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поясните, пожалуйста, 8 9 и 10. Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить пределы последовательностей и функций
СообщениеДобавлено: 05 ноя 2010, 18:18 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slayerepix писал(а):
В 3 пункте получится 0/1 = 0 ?


Да.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить пределы последовательностей и функций
СообщениеДобавлено: 05 ноя 2010, 18:28 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\lim_{x \to \infty}{\left(\frac{3x-4}{3x+2}\right)^x}=[/math] [math]\lim_{x \to \infty}{\left(\frac{3x+2-6}{3x+2}\right)^x}=[/math] [math]\lim_{x \to \infty}{\left(1+\frac{-6}{3x+2}\right)^x}=[/math] [math][1^{\infty}]=[/math] [math]\lim_{x \to \infty}{\left(1+\frac{1}{\frac{3x+2}{-6}}\right)^x}=[/math] [math]\lim_{x \to \infty}{\left(1+\frac{1}{\frac{3x+2}{-6}}\right)^{x \cdot \frac{3x+2}{-6} \cdot \frac{-6}{3x+2}}}=[/math] [math]\lim_{x \to \infty}{\left(1+\frac{1}{\frac{3x+2}{-6}}\right)^{\frac{3x+2}{-6} \cdot \frac{-6x}{3x+2}}}=[/math] [math]e^{\lim_{x \to \infty}{\frac{-6x}{3x+2}}}=[/math] [math]e^{[\frac{\infty}{\infty}]}=[/math] [math]e^{\lim_{x \to \infty}{\frac{-6}{3+\frac{2}{x}}}}=[/math] [math]e^{-2}=\frac{1}{e^2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить пределы последовательностей и функций
СообщениеДобавлено: 05 ноя 2010, 18:40 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\lim_{x \to \infty}{\left(1+\frac{1}{x} \right)^{x}}=e[/math] - 2-й замечательный предел
[math]\lim_{x \to 0}{\left(1+x \right)^{\frac{1}{x}}}=e[/math] - 2-й замечательный предел

[math]\lim_{x \to 0}{\left(1-4x\right)^{\frac{x-3}{x}}}=[/math] [math]\lim_{x \to 0}{\left(1+(-4x)\right)^{\frac{1}{-4x} \cdot \frac{-4x(x-3)}{x}}}=[/math] [math]e^{\lim_{x \to 0}{12-4x}}=e^{12}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить пределы последовательностей и функций
СообщениеДобавлено: 05 ноя 2010, 19:09 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть [math]\alpha (x)[/math] и [math]\beta (x)[/math] - бесконечно малые функции при [math]x \to x_0[/math], то есть [math]\lim_{x \to x_0}{\alpha (x)}=0[/math] и [math]\lim_{x \to x_0}{\beta (x)}=0[/math]. Две бесконечно малые называются эквивалентными при [math]x \to x_0[/math], если [math]\lim_{x \to x_0}{\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1[/math]. Докажем, что функции [math]\alpha (x)=5^x-1[/math] и [math]\beta (x)=x \ln 5[/math] (они являются бесконечно малыми при [math]x \to 0[/math]) эквивалентны. Для этого вычислим предел [math]\lim_{x \to 0}{\frac{5^x-1}{x \ln 5}}=A[/math]. Обозначим [math]\frac{1}{5^x-1}=y[/math]. Тогда [math]y \to \infty[/math] при [math]x \to 0[/math], [math]x= \log_{5}{\left(1+\frac{1}{y} \right)}[/math]. Значит, [math]A=\lim_{y \to \infty}{\frac{\frac{1}{y}}{\ln 5 \cdot \log_{5}{\left(1+\frac{1}{y} \right)}}=[/math] [math]\lim_{y \to \infty}{\frac{1}{\ln 5 \cdot \log_{5}{\left(1+\frac{1}{y} \right)^y}}=[/math] [math]\frac{1}{\ln 5} \cdot \frac{1}{\log_{5}{ \lim_{y \to \infty}{\left(1+\frac{1}{y} \right)^y}}}[/math] [math]=\frac{\log_{5}{e}}{\log_{5}{e}}=1[/math]. Значит, функции [math]\alpha (x)[/math] и [math]\beta (x)[/math] эквивалентны при [math]x \to 0[/math] (взаимозаменяемы). Отсюда имеем: [math]\lim_{x \to 0}{\frac{5^x-1}{x}}=\lim_{x \to 0}{\frac{x \ln 5}{x}}=\ln 5[/math]. Конечно, каждый раз не нужно доказывать эквивалентность бесконечно малых (их списки есть в учебниках по математическому анализу), я показал это для понимания. Проверим значение предела, вычислив его по Лопиталю: [math]\lim_{x \to 0}{\frac{5^x-1}{x}}=[\frac{0}{0}]=\lim_{x \to 0}{\frac{(5^x-1)'}{x'}}=\lim_{x \to 0}{\frac{ \ln 5 \cdot5^x }{1}}=\ln 5 \cdot 5^0=\ln5[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить пределы числовых последовательностей

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Belly1husband

3

286

12 окт 2019, 10:38

Вычислить пределы числовых последовательностей

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Belly1husband

1

218

12 окт 2019, 10:44

Вычислить пределы следующих последовательностей

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

cflbcn

8

356

26 окт 2016, 19:18

Вычислить пределы функций

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

SonicTheHedgenog

11

791

21 янв 2015, 07:57

Вычислить пределы функций

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ruslan95

0

634

31 май 2014, 16:10

Вычислить пределы функций

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

351w

8

667

13 мар 2019, 04:26

Вычислить пределы функций

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Barebara

3

345

02 окт 2018, 22:57

Вычислить пределы функций

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

mazafaka

1

564

14 янв 2016, 00:39

Вычислить пределы функций

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Belly1husband

3

140

12 окт 2019, 10:53

Вычислить пределы функций

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

KiraLeto

2

325

10 дек 2014, 00:29


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved