Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Slayerepix |
|
||
Спасибо |
|||
Вернуться к началу | |||
Ellipsoid |
|
||
1) Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
2) найти корни многочленов в числителе и знаменателе, сократить дроби; 3) поделить числитель и знаменатель на [math]x^4[/math]; 4) умножить числитель и знаменатель на [math]\sqrt{x-1}+2[/math]; 5) умножить и разделить функцию на [math]\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}[/math], вынести за скобки члены наивысших степеней (аналогично п.3); 6) 1-й замечательный предел; 7) найти корни знаменателя, 1-й замечательный предел; 8 ) 2-й замечательный предел; 9) 2-й замечательный предел (в другой форме); 10) эквивалентные бесконечно малые. |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Ellipsoid "Спасибо" сказали: Slayerepix |
|||
Slayerepix |
|
||
В 3 пункте получится 0/1 = 0 ?
|
|||
Вернуться к началу | |||
Slayerepix |
|
||
Поясните, пожалуйста, 8 9 и 10. Спасибо!
|
|||
Вернуться к началу | |||
Ellipsoid |
|
|
Slayerepix писал(а): В 3 пункте получится 0/1 = 0 ? Да. |
||
Вернуться к началу | ||
Ellipsoid |
|
||
[math]\lim_{x \to \infty}{\left(\frac{3x-4}{3x+2}\right)^x}=[/math] [math]\lim_{x \to \infty}{\left(\frac{3x+2-6}{3x+2}\right)^x}=[/math] [math]\lim_{x \to \infty}{\left(1+\frac{-6}{3x+2}\right)^x}=[/math] [math][1^{\infty}]=[/math] [math]\lim_{x \to \infty}{\left(1+\frac{1}{\frac{3x+2}{-6}}\right)^x}=[/math] [math]\lim_{x \to \infty}{\left(1+\frac{1}{\frac{3x+2}{-6}}\right)^{x \cdot \frac{3x+2}{-6} \cdot \frac{-6}{3x+2}}}=[/math] [math]\lim_{x \to \infty}{\left(1+\frac{1}{\frac{3x+2}{-6}}\right)^{\frac{3x+2}{-6} \cdot \frac{-6x}{3x+2}}}=[/math] [math]e^{\lim_{x \to \infty}{\frac{-6x}{3x+2}}}=[/math] [math]e^{[\frac{\infty}{\infty}]}=[/math] [math]e^{\lim_{x \to \infty}{\frac{-6}{3+\frac{2}{x}}}}=[/math] [math]e^{-2}=\frac{1}{e^2}[/math]
|
|||
Вернуться к началу | |||
Ellipsoid |
|
||
[math]\lim_{x \to \infty}{\left(1+\frac{1}{x} \right)^{x}}=e[/math] - 2-й замечательный предел
[math]\lim_{x \to 0}{\left(1+x \right)^{\frac{1}{x}}}=e[/math] - 2-й замечательный предел [math]\lim_{x \to 0}{\left(1-4x\right)^{\frac{x-3}{x}}}=[/math] [math]\lim_{x \to 0}{\left(1+(-4x)\right)^{\frac{1}{-4x} \cdot \frac{-4x(x-3)}{x}}}=[/math] [math]e^{\lim_{x \to 0}{12-4x}}=e^{12}[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
Ellipsoid |
|
||
Пусть [math]\alpha (x)[/math] и [math]\beta (x)[/math] - бесконечно малые функции при [math]x \to x_0[/math], то есть [math]\lim_{x \to x_0}{\alpha (x)}=0[/math] и [math]\lim_{x \to x_0}{\beta (x)}=0[/math]. Две бесконечно малые называются эквивалентными при [math]x \to x_0[/math], если [math]\lim_{x \to x_0}{\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1[/math]. Докажем, что функции [math]\alpha (x)=5^x-1[/math] и [math]\beta (x)=x \ln 5[/math] (они являются бесконечно малыми при [math]x \to 0[/math]) эквивалентны. Для этого вычислим предел [math]\lim_{x \to 0}{\frac{5^x-1}{x \ln 5}}=A[/math]. Обозначим [math]\frac{1}{5^x-1}=y[/math]. Тогда [math]y \to \infty[/math] при [math]x \to 0[/math], [math]x= \log_{5}{\left(1+\frac{1}{y} \right)}[/math]. Значит, [math]A=\lim_{y \to \infty}{\frac{\frac{1}{y}}{\ln 5 \cdot \log_{5}{\left(1+\frac{1}{y} \right)}}=[/math] [math]\lim_{y \to \infty}{\frac{1}{\ln 5 \cdot \log_{5}{\left(1+\frac{1}{y} \right)^y}}=[/math] [math]\frac{1}{\ln 5} \cdot \frac{1}{\log_{5}{ \lim_{y \to \infty}{\left(1+\frac{1}{y} \right)^y}}}[/math] [math]=\frac{\log_{5}{e}}{\log_{5}{e}}=1[/math]. Значит, функции [math]\alpha (x)[/math] и [math]\beta (x)[/math] эквивалентны при [math]x \to 0[/math] (взаимозаменяемы). Отсюда имеем: [math]\lim_{x \to 0}{\frac{5^x-1}{x}}=\lim_{x \to 0}{\frac{x \ln 5}{x}}=\ln 5[/math]. Конечно, каждый раз не нужно доказывать эквивалентность бесконечно малых (их списки есть в учебниках по математическому анализу), я показал это для понимания. Проверим значение предела, вычислив его по Лопиталю: [math]\lim_{x \to 0}{\frac{5^x-1}{x}}=[\frac{0}{0}]=\lim_{x \to 0}{\frac{(5^x-1)'}{x'}}=\lim_{x \to 0}{\frac{ \ln 5 \cdot5^x }{1}}=\ln 5 \cdot 5^0=\ln5[/math].
|
|||
Вернуться к началу | |||
[ Сообщений: 8 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |