Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Roman |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Roman |
|
|
y=\frac{1}{x}+y
|
||
Вернуться к началу | ||
SzaryWilk |
|
|
Кажется, всё-таки [math]f(x)=\frac{1}{x}+x[/math]
[math]x\neq 0[/math], откуда получаем, что [math]D_f=(-\infty,0)\cup(0,\infty)[/math] Функция является нечетной: [math]f(-x)=\frac{1}{-x}-x=-(\frac{1}{x}+x)=-f(x)[/math] Следовательно, достаточно исследовать ее при [math]x>0[/math] Точки пересечения графика функции с осью [math]Ox[/math] не существуют, так как при любых [math](0,\infty)[/math] имеем [math]f(x)=\frac{1+x^2}{x}>0[/math] Исследуем поведение функции вблизи [math]x=0[/math] [math]\lim_{x\to 0^+}(\frac{1}{x}+x)=\infty[/math] Следовательно, функция имеет вертикальную асимптоту [math]x=0[/math]. Исследуем функцию на наличие наклонных асимптот. [math]k=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{1}{x}+x}{x}\lim_{x\to \infty}(\frac{1}{x^2}+1)=1[/math] [math]m=\lim_{x\to \infty}(f(x)-kx)=\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x}=0[/math] Значит, функция имеет наклонную асимптоту [math]y=x[/math] Находим первую производную: [math]f'(x)=-\frac{1}{x^2}+1=\frac{x^2-1}{x}[/math] [math]f'(x)>0[/math] при [math]x>1[/math] и [math]f'(x)<0[/math] при [math]x\in(0,1)[/math] Следовательно, функция [math]f[/math] возрастает на промежуткe [math](1,\infty)[/math], и убывает на [math](0,1)[/math]. В точке [math]x=1[/math] функция имеет локальный минимум равен [math]f(1)=2[/math]. Теперь найдем вторую производную: [math]f''(x)=\Big(-\frac{1}{x^2}+1\Big)'=\frac{2}{x^3}[/math] [math]f''(x)>0[/math] тогда и только тогда, когда [math]x>0[/math] Следовательно, данная функция является выпуклой на [math](0,\infty)[/math]. Точек перегиба нет. Чертим: |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали: Roman, valentina |
||
[ Сообщений: 3 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |