Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
СообщениеДобавлено: 30 сен 2010, 12:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 сен 2010, 14:49
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Конструктивная критика приветствуется! :beer:

Теорема : Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.
Традиционно утверждается, что обратная теорема неверна. Так ли это на самом деле?

Рассмотрим функцию y= |x|

В точке x= 0 функция имеет производную слева = -1 и производную справа = 1.
Если рассмотрим симметричную дельта-окрестность точки x= 0, включающую приближение к 0 слева, сам 0, и приближение к 0 справа.

Производная y(x) равна пределу отношению приращения значения функции y к приращению значения аргумента x, когда приращение аргумента стремится к 0.

Одностороннее приращение значения аргумента x, входящего в дельта-окрестность точки 0 будет бесконечно малая одного порядка малости с односторонним приращением значения функции y.

При изменении значения x (оно входит в симметричную дельта окрестность точки x= 0) изменяется знак этого изменения при переходе через 0. Тогда модуль суммарного изменения значения x при таком переходе по величине больше модуля одностороннего изменения значения аргумента x (которое без смены знака).

Пусть суммарное изменение значения аргумента x, входящего в симметричную дельта-окрестность точки 0 будет 2*дельта` x , тогда суммарное изменение значения функции y, будет равно сумме изменений значений этой функции y слева и справа от 0.

Для случая y= |x| (и вообще, для того случая, когда функция и её вторая производная при переходе через критическую точку не меняют свой знак) модуль суммы изменений значений этой функции слева и справа по величине меньше модуля одностороннего изменения значения функции.

Но разность двух бесконечно малых имеет более высокий порядок, чем составляющие эту разность уменьшаемое и вычитаемое.

Тогда суммарное изменение значения функции y (как бесконечно малая) при одновременном стремлении x к 0 как слева, так и справа имеет более высокий порядок по сравнению с бесконечно малой x.
(Напомним, что для y= |x| одностороннее приращение значения аргумента x, входящего в дельта-окрестность точки 0 будет бесконечно малая одного порядка малости с односторонним приращением значения функции y.)

Значит предел отношения изменения значения функции y= |x| при одновременном симметричном стремлении x к 0 как слева так и справа равен 0.

Это утверждение действительно только непосредственно для самого значения x= 0 при рассмотрении симметричной дельта окрестности точки 0 и при одновременном стремлении x к 0 как слева так и справа.

Т.е. функция y= |x| дифференцируема в точке x=0, и ее производная в этой точке = 0.

Т.е. в данном случае если функция в данной точке непрерывна, то она в ней дифференцируема. Значение производной определяется при рассмотрении симметричной дельта окрестности этой точки и при симметричном стремлении аргумента функции к этой точке как слева так и справа.

В данном случае функцию y= |x| можно представить как частичную суперпозицию функций [math]f_1(x)= -x[/math] и [math]f_2(x)= x[/math] , общей точкой которых является [math]x_0=0[/math]. В таком случае производная этой частичной суперпозиции функций в общей точке будет равна [math]\[\varphi \prime (x_0) = tg\left( {\frac{{arctg(f\prime _1(x_0)) + arctg(f\prime _2(x_0))}}{2} + \frac{\pi }{2}} \right)\][/math], в данном случае = 0.

Физическая интерпретация: в идеализированной ситуации при абсолютно жестком соударении объектов в точке 0(ноль) (относительное расстояние между областями контакта объектов) относительные скорости объектов будут равны 0, ускорения при этом естественно будут величинами бесконечными, т.е. в данном случае функция второй производной координаты по времени в точке 0 (ноль) будет иметь разрыв второго рода.

Если рассмотреть такой случай, когда оба предела значений некоторой симметричной относительно оси x=a`функции слева и справа одновременно равны «+» (плюс) бесконечности или «-» (минус) бесконечности, т.е. имеем вертикальную асимптоту x = a`, где вторые производные этой функции имеют одинаковые знаки слева и справа от асимптоты.
Тогда первая производная на асимптоте будет равна пределу отношения разности значений функции слева и справа от асимптоты к разности значений ее аргументов (слева и справа) при условии, что обратные значения функции в этой области есть величины эквивалентные бесконечно-малые к разности аргумента и значения a` в дельта-окрестности.

Тогда разность двух бесконечно-больших значений функции при симметричном стремлении как слева так и справа значения аргумента к a` есть величина конечная.

Итак: Формула значения производной функции, симметричной относительно вертикальной оси, на асимптоте включает алгебраическую полусумму формул производных слева и справа от асимптоты при условии что обратные значения этой функции слева и справа есть величины эквивалентные бесконечно-малые к разности аргумента и значения a` в дельта-окрестности, в силу симметричности знаки значения функции и ее второй производной при переходе через критическую точку сохраняются.

Например такой функцией может быть [math]\[y = \frac{1}{{\left| x \right|}}\][/math], первая производная в точке x=0 равна 0

либо [math]\[y = \frac{1}{{\left| x \right|}}\][/math] при x от [math]-\[\infty \][/math] до 0 и
[math]\[y = \frac{1}{{\left| x \right|}} + ax\][/math] при x от 0 до [math]+\[\infty \][/math]
, первая производная в точке x=0 равна [math]\frac{a}{2}[/math]


Последний раз редактировалось Alcor 01 окт 2010, 00:01, всего редактировалось 7 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
СообщениеДобавлено: 30 сен 2010, 12:41 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
Рассмотрим функцию y= |x|

В точке x= 0 функция имеет производную слева = -1 и производную справа = 1.

Это и означает, что непрерывная функция у=|x| не дифференцируема в точке х=0.

Цитата:
Производная y(x) равна отношению приращения значения функции y к приращению значения аргумента x.


Это неверно.
См., например, Ильин, Позняк, Основы математического анализа, Ч. I, 163-164.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Ellipsoid "Спасибо" сказали:
Alcor
 Заголовок сообщения: Re: Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
СообщениеДобавлено: 01 окт 2010, 00:37 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 сен 2010, 14:49
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ellipsoid писал(а):
Цитата:
Рассмотрим функцию y= |x|

В точке x= 0 функция имеет производную слева = -1 и производную справа = 1.

Это и означает, что непрерывная функция у=|x| не дифференцируема в точке х=0.

Цитата:
Производная y(x) равна отношению приращения значения функции y к приращению значения аргумента x.


Это неверно.
См., например, Ильин, Позняк, Основы математического анализа, Ч. I, 163-164.


По производной спасибо за замечание, подправил. :oops:

по недифференцируемости у=|x| в точке 0 - представьте отдельно у=x и у=-x, и произведите наложение, ограничив для них область определения соответственно слева и справа и имеющую общую точку пересечения =0.

С физической точки зрения (классическая механика) график функции у=|x| описывает предельный случай абсолютно жесткого столкновения например точечного объекта с плоской стенкой. Чему равна по вашему скорость объекта в точке 0?

Другая интерпретация: эпсилон-окрестность точки 0 (ноль) функции у=|x| мы можем разложить с какой угодно точностью в ряд Фурье (в общем случае используя в качестве базиса экспоненту мнимого аргумента). Каждое слагаемое этого ряда дифференцируемо, значит в пределе и дифференцируема их сумма. :witch:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
СообщениеДобавлено: 06 окт 2010, 16:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 сен 2010, 14:49
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уточнение:
Для случая у=|x| в дельта-окрестности точки x=0 отображение x в y соответствует критерию "короткого отображения", т.е. оно 1-Липшицево с положительным показателем и, в соответствии с признаком Дини, сходимость ряда Фурье поточечная.
Учтем в контексте частичной суперпозиции, что сходимость ряда Фурье в конкретной точке является локальным свойством функции: если две функции совпадают в некоторой окрестности точки x, то их ряды Фурье в этой точке сходятся или расходятся одновременно.
Если рассмотрим Модифицированный признак Дини для функции y`, являющейся производной от у=|x|, которая в точке x=0 имеет разрыв первого рода, то её сужения на промежутки (x-delta,x) и (x,x+delta) могут быть продолжены до функций, удовлетворяющих признаку Дини. Тогда ряд Фурье функции y` в точке x сходится к среднему арифметическому значению y` слева и справа от x=0.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
СообщениеДобавлено: 09 окт 2010, 16:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 сен 2010, 14:49
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для случая у=|x| к физической интерпретации: вторую производную в точке x=0 можно рассматривать как композицию дельта-функций, соответственно первая производная - как композиция функций Хевисайда с точностью до константы. Из соображений симметрии суммарное значение композиции функций Хевисайда в точке 0 равно 0

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
СообщениеДобавлено: 11 окт 2010, 11:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 сен 2010, 14:49
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Фактически смысл в том, что непрерывную n-мерную кривую, имеющую излом можно доопределить в n+1 мерном пространстве в качестве гладкой и дифференцируемой в классическом смысле.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Какая связь между дифференциалом и приращением функции?

в форуме Дифференциальное исчисление

sfanter

1

373

23 янв 2016, 11:45

Связь между нормами в Lp и C

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

TaDa

0

682

16 июн 2014, 05:49

Связь между величинами

в форуме Геометрия

MihailM

1

243

06 июн 2021, 09:39

Связь между построениями ЦиЛ и формулами

в форуме Геометрия

Booker48

22

470

28 май 2022, 00:44

Связь между аффинной и линейной независимостью

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

ConorM

0

304

24 дек 2017, 18:38

Квадратные уравнения между которыми есть связь

в форуме Алгебра

wwww

6

391

13 окт 2016, 11:07

Связь между аддитивными и мультипликативными свойства чисел

в форуме Теория чисел

eric-k

4

735

20 апр 2014, 12:42

Связь между матрицами линейного оператора в различных базис

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

__kat__s

1

156

24 апр 2020, 19:55

Есть ли связь между двумя решениями конечных разностей

в форуме Численные методы

rh520

0

292

18 сен 2021, 19:33

Связь между z преобразованием и преобразованием Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

foxis

2

508

31 янв 2016, 00:01


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 35


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved