Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Alcor |
|
|
Теорема : Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней. Традиционно утверждается, что обратная теорема неверна. Так ли это на самом деле? Рассмотрим функцию y= |x| В точке x= 0 функция имеет производную слева = -1 и производную справа = 1. Если рассмотрим симметричную дельта-окрестность точки x= 0, включающую приближение к 0 слева, сам 0, и приближение к 0 справа. Производная y(x) равна пределу отношению приращения значения функции y к приращению значения аргумента x, когда приращение аргумента стремится к 0. Одностороннее приращение значения аргумента x, входящего в дельта-окрестность точки 0 будет бесконечно малая одного порядка малости с односторонним приращением значения функции y. При изменении значения x (оно входит в симметричную дельта окрестность точки x= 0) изменяется знак этого изменения при переходе через 0. Тогда модуль суммарного изменения значения x при таком переходе по величине больше модуля одностороннего изменения значения аргумента x (которое без смены знака). Пусть суммарное изменение значения аргумента x, входящего в симметричную дельта-окрестность точки 0 будет 2*дельта` x , тогда суммарное изменение значения функции y, будет равно сумме изменений значений этой функции y слева и справа от 0. Для случая y= |x| (и вообще, для того случая, когда функция и её вторая производная при переходе через критическую точку не меняют свой знак) модуль суммы изменений значений этой функции слева и справа по величине меньше модуля одностороннего изменения значения функции. Но разность двух бесконечно малых имеет более высокий порядок, чем составляющие эту разность уменьшаемое и вычитаемое. Тогда суммарное изменение значения функции y (как бесконечно малая) при одновременном стремлении x к 0 как слева, так и справа имеет более высокий порядок по сравнению с бесконечно малой x. (Напомним, что для y= |x| одностороннее приращение значения аргумента x, входящего в дельта-окрестность точки 0 будет бесконечно малая одного порядка малости с односторонним приращением значения функции y.) Значит предел отношения изменения значения функции y= |x| при одновременном симметричном стремлении x к 0 как слева так и справа равен 0. Это утверждение действительно только непосредственно для самого значения x= 0 при рассмотрении симметричной дельта окрестности точки 0 и при одновременном стремлении x к 0 как слева так и справа. Т.е. функция y= |x| дифференцируема в точке x=0, и ее производная в этой точке = 0. Т.е. в данном случае если функция в данной точке непрерывна, то она в ней дифференцируема. Значение производной определяется при рассмотрении симметричной дельта окрестности этой точки и при симметричном стремлении аргумента функции к этой точке как слева так и справа. В данном случае функцию y= |x| можно представить как частичную суперпозицию функций [math]f_1(x)= -x[/math] и [math]f_2(x)= x[/math] , общей точкой которых является [math]x_0=0[/math]. В таком случае производная этой частичной суперпозиции функций в общей точке будет равна [math]\[\varphi \prime (x_0) = tg\left( {\frac{{arctg(f\prime _1(x_0)) + arctg(f\prime _2(x_0))}}{2} + \frac{\pi }{2}} \right)\][/math], в данном случае = 0. Физическая интерпретация: в идеализированной ситуации при абсолютно жестком соударении объектов в точке 0(ноль) (относительное расстояние между областями контакта объектов) относительные скорости объектов будут равны 0, ускорения при этом естественно будут величинами бесконечными, т.е. в данном случае функция второй производной координаты по времени в точке 0 (ноль) будет иметь разрыв второго рода. Если рассмотреть такой случай, когда оба предела значений некоторой симметричной относительно оси x=a`функции слева и справа одновременно равны «+» (плюс) бесконечности или «-» (минус) бесконечности, т.е. имеем вертикальную асимптоту x = a`, где вторые производные этой функции имеют одинаковые знаки слева и справа от асимптоты. Тогда первая производная на асимптоте будет равна пределу отношения разности значений функции слева и справа от асимптоты к разности значений ее аргументов (слева и справа) при условии, что обратные значения функции в этой области есть величины эквивалентные бесконечно-малые к разности аргумента и значения a` в дельта-окрестности. Тогда разность двух бесконечно-больших значений функции при симметричном стремлении как слева так и справа значения аргумента к a` есть величина конечная. Итак: Формула значения производной функции, симметричной относительно вертикальной оси, на асимптоте включает алгебраическую полусумму формул производных слева и справа от асимптоты при условии что обратные значения этой функции слева и справа есть величины эквивалентные бесконечно-малые к разности аргумента и значения a` в дельта-окрестности, в силу симметричности знаки значения функции и ее второй производной при переходе через критическую точку сохраняются. Например такой функцией может быть [math]\[y = \frac{1}{{\left| x \right|}}\][/math], первая производная в точке x=0 равна 0 либо [math]\[y = \frac{1}{{\left| x \right|}}\][/math] при x от [math]-\[\infty \][/math] до 0 и [math]\[y = \frac{1}{{\left| x \right|}} + ax\][/math] при x от 0 до [math]+\[\infty \][/math] , первая производная в точке x=0 равна [math]\frac{a}{2}[/math] Последний раз редактировалось Alcor 01 окт 2010, 00:01, всего редактировалось 7 раз(а). |
||
Вернуться к началу | ||
Ellipsoid |
|
|
Цитата: Рассмотрим функцию y= |x| В точке x= 0 функция имеет производную слева = -1 и производную справа = 1. Это и означает, что непрерывная функция у=|x| не дифференцируема в точке х=0. Цитата: Производная y(x) равна отношению приращения значения функции y к приращению значения аргумента x. Это неверно. См., например, Ильин, Позняк, Основы математического анализа, Ч. I, 163-164. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Ellipsoid "Спасибо" сказали: Alcor |
||
Alcor |
|
|
Ellipsoid писал(а): Цитата: Рассмотрим функцию y= |x| В точке x= 0 функция имеет производную слева = -1 и производную справа = 1. Это и означает, что непрерывная функция у=|x| не дифференцируема в точке х=0. Цитата: Производная y(x) равна отношению приращения значения функции y к приращению значения аргумента x. Это неверно. См., например, Ильин, Позняк, Основы математического анализа, Ч. I, 163-164. По производной спасибо за замечание, подправил. по недифференцируемости у=|x| в точке 0 - представьте отдельно у=x и у=-x, и произведите наложение, ограничив для них область определения соответственно слева и справа и имеющую общую точку пересечения =0. С физической точки зрения (классическая механика) график функции у=|x| описывает предельный случай абсолютно жесткого столкновения например точечного объекта с плоской стенкой. Чему равна по вашему скорость объекта в точке 0? Другая интерпретация: эпсилон-окрестность точки 0 (ноль) функции у=|x| мы можем разложить с какой угодно точностью в ряд Фурье (в общем случае используя в качестве базиса экспоненту мнимого аргумента). Каждое слагаемое этого ряда дифференцируемо, значит в пределе и дифференцируема их сумма. |
||
Вернуться к началу | ||
Alcor |
|
|
Уточнение:
Для случая у=|x| в дельта-окрестности точки x=0 отображение x в y соответствует критерию "короткого отображения", т.е. оно 1-Липшицево с положительным показателем и, в соответствии с признаком Дини, сходимость ряда Фурье поточечная. Учтем в контексте частичной суперпозиции, что сходимость ряда Фурье в конкретной точке является локальным свойством функции: если две функции совпадают в некоторой окрестности точки x, то их ряды Фурье в этой точке сходятся или расходятся одновременно. Если рассмотрим Модифицированный признак Дини для функции y`, являющейся производной от у=|x|, которая в точке x=0 имеет разрыв первого рода, то её сужения на промежутки (x-delta,x) и (x,x+delta) могут быть продолжены до функций, удовлетворяющих признаку Дини. Тогда ряд Фурье функции y` в точке x сходится к среднему арифметическому значению y` слева и справа от x=0. |
||
Вернуться к началу | ||
Alcor |
|
|
Для случая у=|x| к физической интерпретации: вторую производную в точке x=0 можно рассматривать как композицию дельта-функций, соответственно первая производная - как композиция функций Хевисайда с точностью до константы. Из соображений симметрии суммарное значение композиции функций Хевисайда в точке 0 равно 0
|
||
Вернуться к началу | ||
Alcor |
|
|
Фактически смысл в том, что непрерывную n-мерную кривую, имеющую излом можно доопределить в n+1 мерном пространстве в качестве гладкой и дифференцируемой в классическом смысле.
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 6 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 35 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |