Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Нахождение пределов.
СообщениеДобавлено: 02 дек 2011, 06:02 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 июн 2011, 08:07
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пункт а) сделал. Нужна помощь с пунктами б) и в).
Спасибо!

Вложения:
123.jpg
123.jpg [ 106.34 Кб | Просмотров: 35 ]
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение пределов.
СообщениеДобавлено: 02 дек 2011, 08:55 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{\cos 3x}}{{\cos x}}} \right)^{ - \frac{1}{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \frac{{\cos 3x}}{{\cos x}} - 1} \right)^{\frac{{\cos x}}{{\cos 3x - \cos x}}}}^{\frac{{\cos 3x - \cos x}}{{{x^2}\cos x}}} = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 3x - \cos x}}{{{x^2}\cos x}}} \right) = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\cos 3x}}{{\cos x}} - 1}}{{{x^2}}}} \right) = \hfill \\ = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{ - 3\sin 3x\cos x + \cos 3x\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}}}{{2x}}} \right) = \exp \left( {\frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 3\sin 3x\cos x + \cos 3x\sin x}}{{x{{\cos }^2}x}}} \right) = \hfill \\ = \exp \left( {\frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 9\cos 3x\cos x + 3\sin 3x\sin x - 3\sin 3x\sin x + \cos 3x\cos x}}{{{{\cos }^2}x - x\sin 2x}}} \right) = {e^{\frac{1}{2}\frac{{ - 9 + 0 - 0 + 1}}{{1 - 0}}}} = {e^{ - 4}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение пределов.
СообщениеДобавлено: 02 дек 2011, 09:12 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{3^{tg\,x}} - {2^{tg\,x}}}}{{\arcsin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {2^{tg\,x}}\frac{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{tg\,x}} - 1}}{{\arcsin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{tg\,x}} - 1}}{{\arcsin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{tg\,x}}\ln \left( {\frac{3}{2}} \right)\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{{\cos }^2}x}} = \ln \left( {\frac{3}{2}} \right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение пределов.
СообщениеДобавлено: 02 дек 2011, 11:02 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 июн 2011, 08:07
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
С пунктом в) всё понятно, спасибо.
Но :
1.Объясните первый и второй шаг в решении примера б). Куда, например, делся минус в степени?
2. Возможно ли обойтись без Лопиталя? Допустим, использовать эквивалентности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение пределов.
СообщениеДобавлено: 02 дек 2011, 11:12 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
С минусом-то всё просто, я умножил на него разность. А вот, без правила Лопиталя, подумать нужно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение пределов.
СообщениеДобавлено: 02 дек 2011, 11:21 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{\cos 3x}}{{\cos x}}} \right)^{ - \frac{1}{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \frac{{\cos 3x}}{{\cos x}} - 1} \right)^{\frac{{\cos x}}{{\cos 3x - \cos x}}}}^{\frac{{\cos 3x - \cos x}}{{{x^2}\cos x}}} = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 3x - \cos x}}{{{x^2}\cos x}}} \right) = \hfill \\ = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4{{\cos }^3}x - 3\cos x - \cos x}}{{{x^2}\cos x}}} \right) = \exp \left( {4\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\cos }^2}x - 1}}{{{x^2}}}} \right) = \exp \left( { - 4\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}}} \right) = {e^{ - 4}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]


P.S. Есть такая формула [math]\cos 3A = 4{\cos ^3}A - 3\cos A[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение пределов.
СообщениеДобавлено: 02 дек 2011, 11:31 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{3^{tg{\kern 1pt} x}} - {2^{tg{\kern 1pt} x}}}}{{\arcsin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {2^{tg{\kern 1pt} x}}\frac{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{tg{\kern 1pt} x}} - 1}}{{\arcsin x}} = \left| \begin{gathered} {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{tg{\kern 1pt} x}} - 1\,\,\, \sim \,\,tg\,x \cdot \ln \left( {\frac{3}{2}} \right) \hfill \\ tg\,x\,\,\,\, \sim \,\,\,x \hfill \\ \arcsin x\,\,\,\, \sim \,\,\,x \hfill \\ \end{gathered} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {2^{tg{\kern 1pt} x}}\frac{{x \cdot \ln \left( {\frac{3}{2}} \right)}}{x} = \ln \left( {\frac{3}{2}} \right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение пределов.
СообщениеДобавлено: 02 дек 2011, 19:45 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 июн 2011, 08:07
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
С буквой в) всё стало понятно.
Однако первые два ваших преобразования в букве б) я не могу понять, честно.
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{\cos 3x}}{{\cos x}}} \right)^{ - \frac{1}{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \frac{{\cos 3x}}{{\cos x}} - 1} \right)^{\frac{{\cos x}}{{\cos 3x - \cos x}}}}^{\frac{{\cos 3x - \cos x}}{{{x^2}\cos x}}} = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 3x - \cos x}}{{{x^2}\cos x}}} \right)[/math]

Если сделать все возможные преобразования второго выражения под пределом, то получим первое выражение, только без минуса в степени.
Как получено третье выражение, тоже не понятно. Как я понимаю, использовано преобразование [math]a^{b} = e^{b \cdot ln {a}}[/math]
Если Вам не сложно, объясните пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение пределов.
СообщениеДобавлено: 02 дек 2011, 20:15 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Каюсь, с минусом ошибся.
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{\cos 3x}}{{\cos x}}} \right)^{ - \frac{1}{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \frac{{\cos 3x}}{{\cos x}} - 1} \right)^{\frac{{\cos x}}{{\cos 3x - \cos x}}}}^{\frac{{\cos x - \cos 3x}}{{{x^2}\cos x}}} = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - \cos 3x}}{{{x^2}\cos x}}} \right) = \hfill \\ = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - 4{{\cos }^3}x + 3\cos x}}{{{x^2}\cos x}}} \right) = \exp \left( {4\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{{x^2}}}} \right) = \exp \left( {4\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}}} \right) = {e^4} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение пределов.
СообщениеДобавлено: 02 дек 2011, 20:28 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По-поводу третьего выражения.
Вот второй замечательный [math]\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {\left( {1 + t} \right)^{\frac{1}{t}}} = e[/math]
У Вас [math]t = \frac{{\cos 3x}}{{\cos x}} - 1[/math] и степень [math]-\frac{1}{x^2}[/math].
Чтобы получить второй замечательный и степень не изменилась, пмшем [math]\frac{1}{t} \cdot \frac{t}{1} \cdot \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)[/math]. И получите третье выражение.

Да, если Вам непонятна запись [math]exp(x)[/math], то она используется, чтобы степень при печати была хорошо видна: [math]exp(x)=e^x[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Yurik "Спасибо" сказали:
STORMARTS
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Нахождение пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

omgwtfbbq

6

506

07 дек 2015, 20:58

Нахождение пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Dee

1

139

12 апр 2020, 17:14

Пара пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Rising_Sun

4

414

25 апр 2014, 18:37

Решение пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Sweet_blood

3

342

28 апр 2014, 19:54

Теория пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

miklelll111

6

194

18 мар 2020, 18:16

Вычисление пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Outlafpe

1

236

13 сен 2018, 22:31

Названия пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Muviez

1

102

17 янв 2020, 13:08

Свойства пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Adrianaana

4

353

20 дек 2016, 06:38

Вычисление пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Sinerpushk

1

293

29 ноя 2015, 12:31

Вычисление пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

SummertimeSadness

5

424

11 окт 2016, 16:29


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 25


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved