Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
STORMARTS |
|
|
Вернуться к началу | ||
Yurik |
|
|
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{\cos 3x}}{{\cos x}}} \right)^{ - \frac{1}{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \frac{{\cos 3x}}{{\cos x}} - 1} \right)^{\frac{{\cos x}}{{\cos 3x - \cos x}}}}^{\frac{{\cos 3x - \cos x}}{{{x^2}\cos x}}} = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 3x - \cos x}}{{{x^2}\cos x}}} \right) = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\cos 3x}}{{\cos x}} - 1}}{{{x^2}}}} \right) = \hfill \\ = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{ - 3\sin 3x\cos x + \cos 3x\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}}}{{2x}}} \right) = \exp \left( {\frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 3\sin 3x\cos x + \cos 3x\sin x}}{{x{{\cos }^2}x}}} \right) = \hfill \\ = \exp \left( {\frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 9\cos 3x\cos x + 3\sin 3x\sin x - 3\sin 3x\sin x + \cos 3x\cos x}}{{{{\cos }^2}x - x\sin 2x}}} \right) = {e^{\frac{1}{2}\frac{{ - 9 + 0 - 0 + 1}}{{1 - 0}}}} = {e^{ - 4}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
Yurik |
|
|
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{3^{tg\,x}} - {2^{tg\,x}}}}{{\arcsin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {2^{tg\,x}}\frac{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{tg\,x}} - 1}}{{\arcsin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{tg\,x}} - 1}}{{\arcsin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{tg\,x}}\ln \left( {\frac{3}{2}} \right)\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{{\cos }^2}x}} = \ln \left( {\frac{3}{2}} \right)[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
STORMARTS |
|
|
С пунктом в) всё понятно, спасибо.
Но : 1.Объясните первый и второй шаг в решении примера б). Куда, например, делся минус в степени? 2. Возможно ли обойтись без Лопиталя? Допустим, использовать эквивалентности. |
||
Вернуться к началу | ||
Yurik |
|
|
С минусом-то всё просто, я умножил на него разность. А вот, без правила Лопиталя, подумать нужно.
|
||
Вернуться к началу | ||
Yurik |
|
|
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{\cos 3x}}{{\cos x}}} \right)^{ - \frac{1}{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \frac{{\cos 3x}}{{\cos x}} - 1} \right)^{\frac{{\cos x}}{{\cos 3x - \cos x}}}}^{\frac{{\cos 3x - \cos x}}{{{x^2}\cos x}}} = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 3x - \cos x}}{{{x^2}\cos x}}} \right) = \hfill \\ = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4{{\cos }^3}x - 3\cos x - \cos x}}{{{x^2}\cos x}}} \right) = \exp \left( {4\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\cos }^2}x - 1}}{{{x^2}}}} \right) = \exp \left( { - 4\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}}} \right) = {e^{ - 4}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]
P.S. Есть такая формула [math]\cos 3A = 4{\cos ^3}A - 3\cos A[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Yurik |
|
|
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{3^{tg{\kern 1pt} x}} - {2^{tg{\kern 1pt} x}}}}{{\arcsin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {2^{tg{\kern 1pt} x}}\frac{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{tg{\kern 1pt} x}} - 1}}{{\arcsin x}} = \left| \begin{gathered} {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{tg{\kern 1pt} x}} - 1\,\,\, \sim \,\,tg\,x \cdot \ln \left( {\frac{3}{2}} \right) \hfill \\ tg\,x\,\,\,\, \sim \,\,\,x \hfill \\ \arcsin x\,\,\,\, \sim \,\,\,x \hfill \\ \end{gathered} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {2^{tg{\kern 1pt} x}}\frac{{x \cdot \ln \left( {\frac{3}{2}} \right)}}{x} = \ln \left( {\frac{3}{2}} \right)[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
STORMARTS |
|
|
С буквой в) всё стало понятно.
Однако первые два ваших преобразования в букве б) я не могу понять, честно. [math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{\cos 3x}}{{\cos x}}} \right)^{ - \frac{1}{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \frac{{\cos 3x}}{{\cos x}} - 1} \right)^{\frac{{\cos x}}{{\cos 3x - \cos x}}}}^{\frac{{\cos 3x - \cos x}}{{{x^2}\cos x}}} = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 3x - \cos x}}{{{x^2}\cos x}}} \right)[/math] Если сделать все возможные преобразования второго выражения под пределом, то получим первое выражение, только без минуса в степени. Как получено третье выражение, тоже не понятно. Как я понимаю, использовано преобразование [math]a^{b} = e^{b \cdot ln {a}}[/math] Если Вам не сложно, объясните пожалуйста. |
||
Вернуться к началу | ||
Yurik |
|
|
Каюсь, с минусом ошибся.
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{\cos 3x}}{{\cos x}}} \right)^{ - \frac{1}{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \frac{{\cos 3x}}{{\cos x}} - 1} \right)^{\frac{{\cos x}}{{\cos 3x - \cos x}}}}^{\frac{{\cos x - \cos 3x}}{{{x^2}\cos x}}} = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - \cos 3x}}{{{x^2}\cos x}}} \right) = \hfill \\ = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - 4{{\cos }^3}x + 3\cos x}}{{{x^2}\cos x}}} \right) = \exp \left( {4\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{{x^2}}}} \right) = \exp \left( {4\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}}} \right) = {e^4} \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Yurik |
|
|
По-поводу третьего выражения.
Вот второй замечательный [math]\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {\left( {1 + t} \right)^{\frac{1}{t}}} = e[/math] У Вас [math]t = \frac{{\cos 3x}}{{\cos x}} - 1[/math] и степень [math]-\frac{1}{x^2}[/math]. Чтобы получить второй замечательный и степень не изменилась, пмшем [math]\frac{1}{t} \cdot \frac{t}{1} \cdot \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)[/math]. И получите третье выражение. Да, если Вам непонятна запись [math]exp(x)[/math], то она используется, чтобы степень при печати была хорошо видна: [math]exp(x)=e^x[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Yurik "Спасибо" сказали: STORMARTS |
||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 25 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |