Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Возведение комплексного числа в рациональную степень
СообщениеДобавлено: 26 окт 2019, 12:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 янв 2018, 14:54
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте! Для комплексных чисел существуют формулы возведения в степень и извлечения корня. Но как применить эти формулы, если комплексное число нужно возвести в рациональную степень?
Подскажите, пожалуйста, как решить данный пример?
[math]\left( 1-i \right)^{\frac{ 4 }{ 9 } }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение комплексного числа в рациональную степень
СообщениеДобавлено: 26 окт 2019, 14:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я люблю тригонометрическое представление:

[math]\left( 1-i \right)^{\frac{ 4 }{ 9 } }=4^{\frac 19}\cdot \cos \left (\frac{k\pi}{9}\right )+4^{\frac 19}\cdot \sin \left (\frac{k\pi}{9}\right )\cdot i[/math]

[math]k=\pm 1;\, \pm 3;\, \pm 5;\, \pm 7;\, 9[/math]

Итого 9 комплексных точек

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение комплексного числа в рациональную степень
СообщениеДобавлено: 26 окт 2019, 16:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 янв 2018, 14:54
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\left( 1-i \right)^{\frac{ 4 }{ 9 } }=4^{\frac 19}\cdot \cos \left (\frac{k\pi}{9}\right )+4^{\frac 19}\cdot \sin \left (\frac{k\pi}{9}\right )\cdot i[/math]

Почему у вас в формуле [math]\frac{k\pi}{9}[/math] вместо [math]\frac{4\varphi }{9}[/math] (формула Муавра)?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение комплексного числа в рациональную степень
СообщениеДобавлено: 26 окт 2019, 16:20 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]HitGirl,[/math]
[math]\pi= 180^{\circ}[/math], т.е. [math]\pi -[/math]это радианная мера [math]\approx 3,14[/math] от длина окружности
чей радиус [math]= 1[/math] , та же длина этой дуге окружности в угловые градусов [math]= 180^{\circ}[/math] т.е. полуокружности!
А [math]\varphi -[/math] это обычно означаеться переменная(аргумент) было то в радианном или угловом мере! И это принято в математику всего мира.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение комплексного числа в рациональную степень
СообщениеДобавлено: 26 окт 2019, 16:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 янв 2018, 14:54
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Главный аргумент данного комплексного числа (если я правильно посчитал): [math]\frac{ \pi }{ 4 }[/math]
Но если заменить [math]\varphi[/math] на [math]\frac{ \pi }{ 4 }[/math] получится: [math]\frac{ \pi }{ 9 }[/math]
Но почему в формуле [math]\frac{k\pi}{9}[/math] есть ещё k?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение комплексного числа в рациональную степень
СообщениеДобавлено: 26 окт 2019, 17:16 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Потому что корень девятой степени имеет девять значений, которые определяются соответствующими значениями параметра [math]k=0,1,...,8[/math].
Можно было попроще для Вас выполнить так: [math]1-i=\sqrt{2} e^{-i\frac{ \pi }{ 4 } }, \; (1-i)^4=-4=4e^{i(- \pi +2 \pi k)}, \; (1-i)^{\frac{ 4 }{ 9 } }=\sqrt[9]{4} \cdot e^{i( \frac{-\pi +2 \pi k }{ 9 } )}[/math] по формуле Эйлера.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
HitGirl
 Заголовок сообщения: Re: Возведение комплексного числа в рациональную степень
СообщениеДобавлено: 26 окт 2019, 18:55 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Можно было попроще для Вас выполнить так...

Мне проще именно так, как написал. Все 9 точек на комплексной плоскости.
Например, при [math]k=5[/math]

[math]4^{\frac 19}\cdot \cos \left (\frac{5\pi}{9}\right )+4^{\frac 19}\cdot \sin \left (\frac{5\pi}{9}\right )\cdot i\approx -0.20257+1.14881\, i[/math]

Изображение

В формулах четко и точно прописаны действительная и мнимая части.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение комплексного числа в рациональную степень
СообщениеДобавлено: 26 окт 2019, 19:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
michel писал(а):
Можно было попроще для Вас выполнить так...

Мне проще именно так, как написал.


Для Вас может быть и проще, но ТС не может понять до сих пор, как Вы пришли к своим ответам! И Вы так и не ответили на его вопросы!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение комплексного числа в рациональную степень
СообщениеДобавлено: 26 окт 2019, 19:33 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel по этому вопросу я читал в ютубе целую лекцию. И вывод формулы дал. Писать долго, и я удален от домашнего компа.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
sergebsl
 Заголовок сообщения: Re: Возведение комплексного числа в рациональную степень
СообщениеДобавлено: 26 окт 2019, 19:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 янв 2018, 14:54
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я всё-таки не понял откуда берётся [math]\frac{k\pi}{9}[/math]
Почему здесь не используется главный аргумент[math]\frac{\pi}{4}[/math] + период [math]2\pi*k[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 22 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Возведение комплексного числа в степень.

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Logvinovato

2

353

15 янв 2018, 17:11

Возведение числа e в степень i

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

ShnurDash

27

2131

24 фев 2019, 16:45

Комплексные числа. Возведение в степень и излечение корня

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

elabismo

1

310

04 сен 2019, 01:37

Комплексная степень комплексного числа

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

effelinochka

2

390

10 сен 2014, 22:30

Как понять рациональную и отрицательную степень?

в форуме Размышления по поводу и без

ChazAshley

98

2504

04 янв 2016, 23:40

Определение возведения в рациональную степень через корень

в форуме Размышления по поводу и без

Qmot

3

317

24 ноя 2022, 17:56

Возведение в степень

в форуме Алгебра

MKapkaev

3

109

03 сен 2023, 19:58

Возведение в степень матрицы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Morody

5

568

20 сен 2020, 19:23

Возведение дроби в степень

в форуме Алгебра

Lana67

12

645

23 окт 2016, 16:45

Возведение в иррациональную степень

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Maik

1

200

19 июл 2021, 14:13


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved