Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Возведение комплексного числа в рациональную степень
СообщениеДобавлено: 29 окт 2019, 13:40 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Немного сбился с задачей, которую попросили на другом форуме. Делаю повтор, но чуть более правильно (хотя и прежнее решение верно ввиду цикличности координат точек)

Меня попросили подробно расписать процесс нахождения всех 11 комплексных точек для выражения

[math](1-i)^{\frac{5}{11}}[/math]

Тут [math]a=5 \,[/math] и [math]b=11 \,[/math] (будем рассматривать только случай [math]a<b)[/math]:

По формуле, что я ранее написал, определяем главную точку:

[math](1-i)^{\frac{5}{11}}=2^{\frac{5}{22}}\cos\left ( \frac{5\pi}{44}\right )-2^{\frac{5}{22}}\sin\left ( \frac{5\pi}{44}\right )\, i[/math]

Немного видоизменим это тождество:

[math](1-i)^{\frac{5}{11}}=2^{\frac{5}{22}}\cos\left ( \frac{-5\pi}{44}\right )+2^{\frac{5}{22}}\sin\left ( \frac{-5\pi}{44}\right )\, i\approx 1.09681-0.4091\cdot i[/math]

Это позволит в дальнейшем не заморачиваться со знаками при косинусе и синусе - знаки принимаем всегда одинаковые (как в цепочке).

Теперь составим цепочку для коэффициента [math]k[/math]. В данном примере цепочка должна состоять из 11 чисел, причем число [math]-5[/math] должно быть центральным. Шаг изменения всегда [math]8[/math]. Итак:

[math]k=-45;\, -37;\, -29;\, -21;\,-13;\,-5;\,3;\,11;\,19;\,27;\,35[/math]

Тут видно, что наше [math]-5[/math] находится в центре, справа пять чисел арифметической прогрессии и слева пять чисел. Итого 11 чисел.

Теперь делаем 10 вычислений.

При [math]k=-45[/math]

[math]2^{\frac{5}{22}}\cos\left ( \frac{-45\pi}{44}\right )+2^{\frac{5}{22}}\sin\left ( \frac{-45\pi}{44}\right )\, i\approx -1.1676+0.08351\cdot i[/math]

Потом для [math]k=-37 \,[/math]и так далее.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение комплексного числа в рациональную степень
СообщениеДобавлено: 07 ноя 2019, 16:47 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поставил все точки над всеми буквами. Программа на удивление проста и на языке Ybasic смотрится, как алгоритм.
Любой желающий сможет перевести ее на свой удобный язык. Итак, текст:

rem (x+y*i)^(n/m)
print "INPUT X,Y ";:input x,y
print "INPUT n,m ";:input n,m
print
print "----------------------------------"
print "z = (";:print x;:print "+";:print y;:print "*i)^(";:print n;:print "/";
print m;:print ")"
print "----------------------------------"
for k=0 to m-1
d=(x^2+y^2)^(n/(2*m))*cos(n/m*(pi/2*(1-abs(x)/x)+atan(abs(y)/x))+k/m*(2*pi))
c=(x^2+y^2)^(n/(2*m))*abs(y)/y*sin(n/m*(pi/2*(1-abs(x)/x)+atan(abs(y)/x))+k/m*(2*pi))
print "z(";:print k;:print ") = ";:print d;:print " + ";:print c;:print "*i"
next k

Тестовый пример:

INPUT X,Y ?2.7 3.4
INPUT n,m ?6 7

----------------------------------
z = (2.7+3.4*i)^(6/7)
----------------------------------
z(0) = 2.52439 + 2.45336*i
z(1) = -0.344186 + 3.50329*i
z(2) = -2.95358 + 1.91517*i
z(3) = -3.33887 + -1.11511*i
z(4) = -1.20992 + -3.30569*i
z(5) = 1.83012 + -3.00702*i
z(6) = 3.49204 + -0.443999*i

И, наконец, - вся теория задачи:

Изображение

Работает, как часы!!!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3  Страница 3 из 3 [ Сообщений: 22 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Возведение комплексного числа в степень.

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Logvinovato

2

353

15 янв 2018, 17:11

Возведение числа e в степень i

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

ShnurDash

27

2131

24 фев 2019, 16:45

Комплексные числа. Возведение в степень и излечение корня

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

elabismo

1

310

04 сен 2019, 01:37

Комплексная степень комплексного числа

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

effelinochka

2

390

10 сен 2014, 22:30

Как понять рациональную и отрицательную степень?

в форуме Размышления по поводу и без

ChazAshley

98

2504

04 янв 2016, 23:40

Определение возведения в рациональную степень через корень

в форуме Размышления по поводу и без

Qmot

3

317

24 ноя 2022, 17:56

Возведение в степень

в форуме Алгебра

MKapkaev

3

109

03 сен 2023, 19:58

Возведение в степень матрицы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Morody

5

568

20 сен 2020, 19:23

Возведение дроби в степень

в форуме Алгебра

Lana67

12

645

23 окт 2016, 16:45

Возведение в иррациональную степень

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Maik

1

200

19 июл 2021, 14:13


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved