Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Возведение числа e в степень i
СообщениеДобавлено: 25 фев 2019, 21:09 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 фев 2019, 16:34
Сообщений: 67
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]x_{i+1} = \frac{1}{n}((n-1)x_{i}+\frac{A}{x_{i}^{n-1} })[/math]

[math]x_{0}=1[/math]

[math]n[/math] - показатель степени

[math]A[/math] - само число

и потихоньку приближаемся к искомому значению.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение числа e в степень i
СообщениеДобавлено: 25 фев 2019, 21:45 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 фев 2019, 16:34
Сообщений: 67
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
ShnurDash писал(а):
Для синуса и косинуса есть алгоритм cordic , но от итерационный и долгий

cordic не единственный алгоритм для вычисления синуса и косинуса. Не существует конечных алгоритмов для вычисления синуса, косинуса и логарифма. Они все итерационные.


Поясните алгоритм синуса и косинуса, пожалуйста (если не CORDIC).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение числа e в степень i
СообщениеДобавлено: 25 фев 2019, 22:47 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 фев 2019, 16:34
Сообщений: 67
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
ShnurDash писал(а):
Вычисление синуса и косинуса не сложнее, чем вычисление логарифма.


не та цитата(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение числа e в степень i
СообщениеДобавлено: 25 фев 2019, 22:47 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 фев 2019, 16:34
Сообщений: 67
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
ShnurDash писал(а):
Вычисление синуса и косинуса не сложнее, чем вычисление логарифма.


не та цитата(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение числа e в степень i
СообщениеДобавлено: 26 фев 2019, 07:43 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
01 дек 2015, 04:09
Сообщений: 245
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
41 раз в 36 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как мне все представляется:
возведение какого-то числа в какую-то комплексную степень неопределено и почти бессмысленно (ниже напишу, почему)
Однако, существует такая функция, как экспонента, то есть [math]exp(x)=\sum\limits_{n=0}^{ \infty }\frac{x^n}{n!}[/math]
И вот в вещественной части [math]e^x=exp(x)[/math] И так и доопределяется [math]e^x[/math] для комплексных x - Это просто сумма того ряда
Существуют аналогичные ряды для синуса и косинуса и так и доопределяется синус и косинус от комплексных значений
Более того - в эти все ряды можно подставить и матрицы. Поэтому существуют и синусы и косинусы и экспоненты от матриц (которые тоже будут матрицами)
А искать , чему будет равно произвольное число в комплексной степени бессмысленно. И вот почему:
Пусть мы ищем чему равно [math]a^b[/math] По логике это сначала преобразовывается как [math]a^b=e^{b \ln a}[/math] И вот в этом логарифме кроется все коварство. Дело в том, что логарифм по идее должен быть просто обратной функцией к экспоненте. Но вот проблема: функция экспоненты не инъективна на множестве комплексных чисел. То есть кроме того, что [math]e^1=e[/math] справедливо еще и [math]e=e^{1+2\pi i}[/math] и еще для многих других "показателей" Поэтому равенство [math]a^b=e^{b \ln a}[/math] придется продолжить как [math]a^b=e^{b \ln a}=e^{b \left\{ \ln a \right\} }[/math] - множество всех значений[math]\ln a[/math] что дает много разных значений
Хотя иногда некторые из таких равенств публикуются, как [math]i^i=e^{-\frac{\pi}2}[/math] - это одно из возможных значений

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение числа e в степень i
СообщениеДобавлено: 26 фев 2019, 09:06 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 фев 2019, 16:34
Сообщений: 67
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну и поскольку такое "возведение" не возможно, то , если кто знает, поделитесь возможными алгоритмами нахождение синуса и косинуса
(Если можно, и арктангенс) . Или если других способов нет, предложите идеи упрощения алгоритмов CORDIC.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение числа e в степень i
СообщениеДобавлено: 26 фев 2019, 09:41 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ShnurDash писал(а):
Поясните алгоритм синуса и косинуса, пожалуйста (если не CORDIC).

Во-первых, угол можно выбрать в интервале от 0 до 45 градусов (возможно с заменой синуса на косинус и наоборот). Далее угол можно уменьшить в целое число раз, воспользовавшись формулами для синуса и косинуса кратного угла. Эту процедуру можно применять несколько раз, но сильно увлекаться не надо, поскольку тут ошибки накапливаются. А синус и косинус маленького угла можно вычислить по формуле Тейлора.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение числа e в степень i
СообщениеДобавлено: 26 фев 2019, 09:43 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Zatamon писал(а):
возведение какого-то числа в какую-то комплексную степень неопределено и почти бессмысленно (ниже напишу, почему)

Zatamon писал(а):
множество всех значений lna
что дает много разных значений

Это нормально.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение числа e в степень i
СообщениеДобавлено: 26 фев 2019, 18:44 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 фев 2019, 16:34
Сообщений: 67
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пораскинув мозгами, я придумал самое адекватное решение проблемы:

[math]e^{i \alpha } = (e^{i})^{\alpha} = (\cos 1 + i \sin 1)^{\alpha} = (0.540302306 + 0.841470985 i)^{\alpha}[/math]

Вместо [math]\alpha[/math] подставляем наш угол в радианах, решаем бином и радуемся жизни.

P.S. Тут даже можно регулировать точность, "обрезая" знаки после запятой.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение числа e в степень i
СообщениеДобавлено: 26 фев 2019, 19:12 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ShnurDash писал(а):
решаем бином и радуемся жизни.

Может продемонстрируете, как решить бином для случая [math]\alpha = \frac{ \pi }{ 4 }[/math] ?
Если что, то [math](\cos 1 +i\sin 1)^{ \pi \slash 4}=\frac{ \sqrt{2} }{ 2 } (1+i)[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3  След.  Страница 2 из 3 [ Сообщений: 28 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Возведение комплексного числа в степень.

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Logvinovato

2

353

15 янв 2018, 17:11

Возведение комплексного числа в рациональную степень

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

HitGirl

21

678

26 окт 2019, 12:52

Комплексные числа. Возведение в степень и излечение корня

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

elabismo

1

310

04 сен 2019, 01:37

Возведение в степень

в форуме Алгебра

MKapkaev

3

109

03 сен 2023, 19:58

Возведение в иррациональную степень

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Maik

1

200

19 июл 2021, 14:13

Возведение дроби в степень

в форуме Алгебра

Lana67

12

645

23 окт 2016, 16:45

Возведение матрицы в степень

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

DanyaRRRR

6

289

10 авг 2019, 03:46

Возведение в большую степень

в форуме Теория чисел

glassen

2

463

31 окт 2017, 12:05

Возведение в степень матрицы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Morody

5

568

20 сен 2020, 19:23

Возведение матрицы в степень k

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Nufus

16

422

13 июн 2019, 15:43


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved