Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Возведение числа e в степень i
СообщениеДобавлено: 24 фев 2019, 16:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 фев 2019, 16:34
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте! Ищу способ возвести число [math]e[/math] в степень [math]i[/math]. Про небезызвестную формулу Муавра знаю, но мне нужен способ без использования тригонометрических функций (если есть такой). Знаю ещё метод вычисления вот такого вот предела[math]\lim_{x \to\infty} (1+\frac{ i }{ x } )^{x}[/math], но это не форум о пределах, да и я с ними не дружу. Надеюсь на понятные и подробные объяснения. Заранее благодарю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение числа e в степень i
СообщениеДобавлено: 24 фев 2019, 17:40 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 1415
Cпасибо сказано: 45
Спасибо получено:
410 раз в 393 сообщениях
Очков репутации: 163

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]ShnurDash,[/math]
По формулу Эйлера(откройте каждой учебник, где рассматриваються комплексных чисель) :

[math]z = a + b \cdot i = r \cdot (\cos{ \varphi } + i \cdot \sin{\varphi }) = r \cdot e^{i \varphi }[/math];

Здесь [math]r = \sqrt{a^2 + b^2}, \cos{\varphi} = \frac{ a }{ \sqrt{a^2 + b^2} }, \sin{\varphi} = \frac{ b }{ \sqrt{a^2 + b^2} }[/math] ;

Так что для [math]z = i, r = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1[/math] и:

[math]i = 1 \cdot (\cos{\frac{ \pi }{ 2 } } + i \cdot \sin{\frac{ \pi }{ 2 }}) = 1 \cdot e^{i \cdot \frac{ \pi }{ 2 }}= e^{\frac{ \pi \cdot i }{ 2 } }[/math]

От сюда [math]e^{i} = e^{e^{\frac{ \pi \cdot i }{ 2 } }}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
ShnurDash
 Заголовок сообщения: Re: Возведение числа e в степень i
СообщениеДобавлено: 24 фев 2019, 18:04 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4428
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
666 раз в 631 сообщениях
Очков репутации: 145

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ShnurDash писал(а):
Про небезызвестную формулу Муавра знаю, но мне нужен способ без использования тригонометрических функций (если есть такой).

Но тут ответ выражается через тригонометрические функции: [math]e^i=\cos 1 +i\sin 1[/math] , что намекает, что без них обойтись будет трудно. А чем вызвано такое требование? С тригонометрией не дружите?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение числа e в степень i
СообщениеДобавлено: 24 фев 2019, 20:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 фев 2019, 16:34
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
ShnurDash писал(а):
Про небезызвестную формулу Муавра знаю, но мне нужен способ без использования тригонометрических функций (если есть такой).

Но тут ответ выражается через тригонометрические функции: [math]e^i=\cos 1 +i\sin 1[/math] , что намекает, что без них обойтись будет трудно. А чем вызвано такое требование? С тригонометрией не дружите?


Есть такие формулы: [math]\cos{x} = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}[/math]

и [math]\sin{x} = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}[/math]

Получается, чтобы вычислить синус или косинус, нам нужно вычислять и синус, и косинус. Мне нужен способ возведения в мнимую степень для того, чтобы по этой формуле можно было легко сосчитать нужное значение (для корня и логарифма существуют безкалькуляторные методы счета).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение числа e в степень i
СообщениеДобавлено: 24 фев 2019, 20:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 фев 2019, 16:34
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пытаюсь ,одним словом, найти безкалькуляторный метод расчета тригонометрических функций без калькулятора (на всемогущий CORDIC не тыкать, не впечатлило).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение числа e в степень i
СообщениеДобавлено: 25 фев 2019, 07:06 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2457
Cпасибо сказано: 87
Спасибо получено:
788 раз в 628 сообщениях
Очков репутации: 196

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Познать принцип действия двигателя внутреннего сгорания не получится на примере овса и лошади.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение числа e в степень i
СообщениеДобавлено: 25 фев 2019, 12:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 фев 2019, 16:34
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А что, если представить нашу степень в виде [math]e^{-1^{0.5}}[/math]? Может здесь можно сделать какие-то преобразования?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение числа e в степень i
СообщениеДобавлено: 25 фев 2019, 13:31 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4428
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
666 раз в 631 сообщениях
Очков репутации: 145

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ShnurDash писал(а):
для корня и логарифма существуют безкалькуляторные методы счета).

ShnurDash писал(а):
Пытаюсь ,одним словом, найти безкалькуляторный метод расчета

А что такое безкалькуляторный метод?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение числа e в степень i
СообщениеДобавлено: 25 фев 2019, 17:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 фев 2019, 16:34
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мы с лёгкостью можем посчитать значение тригонометрических (да и других) функций с помощью калькулятора. Но что если калькулятора нет? На помощь приходят безкалькуляторные методы расчета. (На таблицы Брадиса не тыкать) . Безкалькуляторные расчеты - алгоритмы расчета чего-то сложного путем сведения к менее сложным операциям (умножение, деление, сложение, вычитание, подбор). Например, корень квадратный считается либо столбиком, либо Ньютоном. А десятичный логарифм насчитывается по одному забавному алгоритму(http://rsdn.org/forum/alg/229493.all). Для синуса и косинуса есть алгоритм cordic , но от итерационный и долгий. Недавно наткнулся на формулу Муавра-Эйлера. Так зародилась идея вычислить [math]e^{i}[/math] безкалькуляторным методом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Возведение числа e в степень i
СообщениеДобавлено: 25 фев 2019, 17:28 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4428
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
666 раз в 631 сообщениях
Очков репутации: 145

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ShnurDash писал(а):
Для синуса и косинуса есть алгоритм cordic , но от итерационный и долгий

cordic не единственный алгоритм для вычисления синуса и косинуса. Не существует конечных алгоритмов для вычисления синуса, косинуса и логарифма. Они все итерационные. Вычисление синуса и косинуса не сложнее, чем вычисление логарифма.
ShnurDash писал(а):
А десятичный логарифм насчитывается по одному забавному алгоритму(

Для начала попробуйте руками подсчитать вот это:
Цитата:
7. Берем делитель (начать с 10**0.1)

(Две звёздочки - это возведение в степень).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Возведение комплексного числа в степень + корни комп. числа

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

pe3a4ok

1

625

04 ноя 2013, 14:56

Возведение комплексного числа в степень

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Wersel

3

520

12 фев 2013, 01:21

Возведение комплексного числа в степень.

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Logvinovato

2

146

15 янв 2018, 17:11

Комплексные числа возведение в степень

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

oksanakurb

4

345

19 дек 2011, 18:00

Возведение cosx в степень

в форуме Тригонометрия

linki770

6

710

22 май 2013, 16:01

Возведение матрицы в степень

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

CROSP

3

1104

13 сен 2012, 20:19

Возведение дроби в степень

в форуме Алгебра

Lana67

12

267

23 окт 2016, 16:45

Возведение в большую степень

в форуме Теория чисел

glassen

2

159

31 окт 2017, 12:05

Возведение матрицы в большую степень

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

klocchi

3

334

01 май 2018, 14:32

Как найти N - обратное возведение в степень

в форуме Алгебра

afraumar

4

521

10 окт 2013, 13:34


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved