Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интеграл по контуру
СообщениеДобавлено: 13 май 2018, 00:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 май 2018, 23:52
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток. Вопрос следующий:
Нужно вычислить интеграл [math]\int\limits_{G}[/math] [math]\frac{d z}{(\sin{z} - \cos{z} ) (1-\frac{ \pi }{ 2z } )}[/math],



где область [math]\mathsf{G}[/math] : [math]\left| z-\frac{ \pi }{ 2 } \right|[/math] < [math]\frac{ \pi }{ 3 }[/math]

Я думаю, что здесь нужно использовать формулу Коши. Но проблема в точке [math]\frac{ \pi }{ 4 }[/math], которая находится внутри контура, а в знаменателе нету выражения (z-[math]\frac{ \pi }{ 4 }[/math]).
Я думал сделать так: записать формулу немного по-другому

[math]\int\limits_{G}[/math] [math]\frac{ \frac{ (z - \frac{ \pi }{ 4 } )}{ (\sin{z} - \cos{z} )} d z}{(z - \frac{ \pi }{ 4 } ) (1-\frac{ \pi }{ 2z } )}[/math] = [math]\frac{ \frac{ (z - \frac{ \pi }{ 4 } )}{ (\sin{z} - \cos{z} )} z d z}{(z - \frac{ \pi }{ 4 } ) (z-\frac{ \pi }{ 2 } )}[/math] и использовать спокойно интегральную формулу Коши, а функцию в числителе доопределить в точке z = [math]\frac{ \pi }{ 4 }[/math].

Но не уверен что так можно. Подскажите идею. Заранее спасибо

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл по контуру
СообщениеДобавлено: 13 май 2018, 09:27 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MSHL писал(а):
Подскажите идею.

Идея в том, чтобы использовать вычеты. Для этого для начала определите особые точки внутри контура интегрирования.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл по контуру
СообщениеДобавлено: 23 мар 2024, 18:19 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 3550
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
624 раз в 591 сообщениях
Очков репутации: 98

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\frac{ 1 }{ \left( sinz-cosz \right)\left( 1-\frac{ \pi }{ 2z } \right) }=\frac{ z }{ \left( sinz-cosz \right)\left( z- \frac{ \pi }{ 2 } \right) }+\frac{ \frac{ z }{ 2\left( z- \frac{ \pi }{ 2 } \right) } }{sinz-cosz }+\frac{ \frac{ z }{ 2\left( sinz-cosz \right) } }{z- \frac{ \pi }{ 2 } }[/math]

[math]\oint\limits_{\left| z- \frac{ \pi }{ 2 } \right|<\frac{ \pi }{ 3 } }\frac{ dz }{ \left( sinz-cosz \right)\left( 1-\frac{ \pi }{ 2z } \right) }=\oint\limits_{\left| z- \frac{ \pi }{ 2 } \right|<\frac{ \pi }{ 3 } }\frac{ \frac{ zdz }{ 2\left( z- \frac{ \pi }{ 2 } \right) } }{sinz-cosz }+\oint\limits_{\left| z- \frac{ \pi }{ 2 } \right|<\frac{ \pi }{ 3 } }\frac{ \frac{ zdz }{ 2\left( sinz-cosz \right) } }{z- \frac{ \pi }{ 2 } }[/math]

[math]\oint\limits_{\left| z- \frac{ \pi }{ 2 } \right|<\frac{ \pi }{ 3 } }\frac{ \frac{ zdz }{ 2\left( z- \frac{ \pi }{ 2 } \right) } }{sinz-cosz }=2 \pi i \frac{ \frac{ \frac{ \pi }{ 4 } }{ 2\left( \frac{ \pi }{ 4 }- \frac{ \pi }{ 2 } \right) } }{sin \frac{ \pi }{ 4 }+cos \frac{ \pi }{ 4 } }=-\frac{ \pi i }{ \sqrt{2} }[/math]

[math]\oint\limits_{\left| z- \frac{ \pi }{ 2 } \right|<\frac{ \pi }{ 3 } }\frac{ \frac{ zdz }{ 2\left( sinz-cosz \right) } }{z- \frac{ \pi }{ 2 } }=2 \pi i\ \frac{\frac{ \pi }{ 2 } }{ 2\left( sin\frac{ \pi }{ 2 }-cos\frac{ \pi }{ 2 } \right) }=\frac{ \pi ^{2} }{2 }i[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл по контуру
СообщениеДобавлено: 24 мар 2024, 04:19 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 ноя 2022, 00:00
Сообщений: 1067
Cпасибо сказано: 71
Спасибо получено:
345 раз в 330 сообщениях
Очков репутации: 75

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slava_psk
Ясно, что в первой строчке вашего сообщения после первого выражения после знака равенства снова должен стоять знак равенства , а не плюс. Опечатка - не беда.
Но зачем разбивать подынтегральную функцию на две РАВНЫХ части?!
Ответ ( значения вычетов в точках [math]\mathsf{z} =\frac{ \pi }{ 2 }[/math] и [math]\mathsf{z} = \frac{ \pi }{ 4 }[/math] - в круглых скобках, поочерёдно): [math]2\pi \mathsf{i} \left( \frac{ \pi }{ 2 } - \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } \right) .[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл по контуру
СообщениеДобавлено: 24 мар 2024, 08:37 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 3550
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
624 раз в 591 сообщениях
Очков репутации: 98

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
revos, мне теория не известна, что можно так не разбивая интеграл. Не можете, пож. подробнее написать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл по контуру
СообщениеДобавлено: 24 мар 2024, 11:57 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 ноя 2022, 00:00
Сообщений: 1067
Cпасибо сказано: 71
Спасибо получено:
345 раз в 330 сообщениях
Очков репутации: 75

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slava_psk
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Интеграл по контуру

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Oken

6

644

27 май 2021, 11:52

Интеграл по контуру

в форуме Интегральное исчисление

varyag

0

486

30 ноя 2014, 12:03

Интеграл по замкнутому контуру

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

G_Ray

2

828

14 май 2015, 16:13

Интеграл по замкнутому контуру

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Adel2015

3

527

06 мар 2016, 01:08

Вычислить интеграл по контуру

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Class

16

505

01 дек 2017, 11:42

Найдите интеграл по контуру С

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Marry

2

255

04 июн 2018, 11:35

Интеграл по замкнутому контуру

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

God_mode_2016

7

188

08 июн 2021, 23:50

Вычислить интеграл по контуру

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

SkiprDAG

1

187

28 май 2021, 20:04

Вычислить интеграл по контуру

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

okkkurb

6

289

10 май 2018, 18:59

Интеграл по замкнутому контуру Вычеты

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Rekweyn

3

344

13 янв 2018, 21:20


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved