Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
MSHL |
|
|
Нужно вычислить интеграл [math]\int\limits_{G}[/math] [math]\frac{d z}{(\sin{z} - \cos{z} ) (1-\frac{ \pi }{ 2z } )}[/math], где область [math]\mathsf{G}[/math] : [math]\left| z-\frac{ \pi }{ 2 } \right|[/math] < [math]\frac{ \pi }{ 3 }[/math] Я думаю, что здесь нужно использовать формулу Коши. Но проблема в точке [math]\frac{ \pi }{ 4 }[/math], которая находится внутри контура, а в знаменателе нету выражения (z-[math]\frac{ \pi }{ 4 }[/math]). Я думал сделать так: записать формулу немного по-другому [math]\int\limits_{G}[/math] [math]\frac{ \frac{ (z - \frac{ \pi }{ 4 } )}{ (\sin{z} - \cos{z} )} d z}{(z - \frac{ \pi }{ 4 } ) (1-\frac{ \pi }{ 2z } )}[/math] = [math]\frac{ \frac{ (z - \frac{ \pi }{ 4 } )}{ (\sin{z} - \cos{z} )} z d z}{(z - \frac{ \pi }{ 4 } ) (z-\frac{ \pi }{ 2 } )}[/math] и использовать спокойно интегральную формулу Коши, а функцию в числителе доопределить в точке z = [math]\frac{ \pi }{ 4 }[/math]. Но не уверен что так можно. Подскажите идею. Заранее спасибо |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
MSHL писал(а): Подскажите идею. Идея в том, чтобы использовать вычеты. Для этого для начала определите особые точки внутри контура интегрирования. |
||
Вернуться к началу | ||
slava_psk |
|
|
[math]\frac{ 1 }{ \left( sinz-cosz \right)\left( 1-\frac{ \pi }{ 2z } \right) }=\frac{ z }{ \left( sinz-cosz \right)\left( z- \frac{ \pi }{ 2 } \right) }+\frac{ \frac{ z }{ 2\left( z- \frac{ \pi }{ 2 } \right) } }{sinz-cosz }+\frac{ \frac{ z }{ 2\left( sinz-cosz \right) } }{z- \frac{ \pi }{ 2 } }[/math]
[math]\oint\limits_{\left| z- \frac{ \pi }{ 2 } \right|<\frac{ \pi }{ 3 } }\frac{ dz }{ \left( sinz-cosz \right)\left( 1-\frac{ \pi }{ 2z } \right) }=\oint\limits_{\left| z- \frac{ \pi }{ 2 } \right|<\frac{ \pi }{ 3 } }\frac{ \frac{ zdz }{ 2\left( z- \frac{ \pi }{ 2 } \right) } }{sinz-cosz }+\oint\limits_{\left| z- \frac{ \pi }{ 2 } \right|<\frac{ \pi }{ 3 } }\frac{ \frac{ zdz }{ 2\left( sinz-cosz \right) } }{z- \frac{ \pi }{ 2 } }[/math] [math]\oint\limits_{\left| z- \frac{ \pi }{ 2 } \right|<\frac{ \pi }{ 3 } }\frac{ \frac{ zdz }{ 2\left( z- \frac{ \pi }{ 2 } \right) } }{sinz-cosz }=2 \pi i \frac{ \frac{ \frac{ \pi }{ 4 } }{ 2\left( \frac{ \pi }{ 4 }- \frac{ \pi }{ 2 } \right) } }{sin \frac{ \pi }{ 4 }+cos \frac{ \pi }{ 4 } }=-\frac{ \pi i }{ \sqrt{2} }[/math] [math]\oint\limits_{\left| z- \frac{ \pi }{ 2 } \right|<\frac{ \pi }{ 3 } }\frac{ \frac{ zdz }{ 2\left( sinz-cosz \right) } }{z- \frac{ \pi }{ 2 } }=2 \pi i\ \frac{\frac{ \pi }{ 2 } }{ 2\left( sin\frac{ \pi }{ 2 }-cos\frac{ \pi }{ 2 } \right) }=\frac{ \pi ^{2} }{2 }i[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
revos |
|
|
slava_psk
Ясно, что в первой строчке вашего сообщения после первого выражения после знака равенства снова должен стоять знак равенства , а не плюс. Опечатка - не беда. Но зачем разбивать подынтегральную функцию на две РАВНЫХ части?! Ответ ( значения вычетов в точках [math]\mathsf{z} =\frac{ \pi }{ 2 }[/math] и [math]\mathsf{z} = \frac{ \pi }{ 4 }[/math] - в круглых скобках, поочерёдно): [math]2\pi \mathsf{i} \left( \frac{ \pi }{ 2 } - \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } \right) .[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
slava_psk |
|
|
revos, мне теория не известна, что можно так не разбивая интеграл. Не можете, пож. подробнее написать?
|
||
Вернуться к началу | ||
revos |
|
|
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 6 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Интеграл по контуру | 6 |
644 |
27 май 2021, 11:52 |
|
Интеграл по контуру
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
486 |
30 ноя 2014, 12:03 |
|
Интеграл по замкнутому контуру | 2 |
828 |
14 май 2015, 16:13 |
|
Интеграл по замкнутому контуру | 3 |
527 |
06 мар 2016, 01:08 |
|
Вычислить интеграл по контуру | 16 |
505 |
01 дек 2017, 11:42 |
|
Найдите интеграл по контуру С | 2 |
255 |
04 июн 2018, 11:35 |
|
Интеграл по замкнутому контуру | 7 |
188 |
08 июн 2021, 23:50 |
|
Вычислить интеграл по контуру | 1 |
187 |
28 май 2021, 20:04 |
|
Вычислить интеграл по контуру | 6 |
289 |
10 май 2018, 18:59 |
|
Интеграл по замкнутому контуру Вычеты | 3 |
344 |
13 янв 2018, 21:20 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |