Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=52&t=55922
Страница 1 из 2

Автор:  Kirill1986 [ 04 окт 2017, 14:16 ]
Заголовок сообщения:  Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1

Доброе утро, уважаемые форумчане!

Помогите, пожалуйста, разобраться с такой задачей. Требуется найти все комплексные [math]z[/math], при которых [math]\left| \operatorname{tg}{z} \right|=1[/math]. Вот мое решение:

[math]\left( \left| \operatorname{tg}{z} \right|=1 \right) \leftrightarrow \left( \operatorname{tg}{z}=e^{i \varphi }, - \pi < \varphi < -\frac{ \pi }{ 2 } \oplus -\frac{ \pi }{ 2 } < \varphi < \frac{ \pi }{ 2 } \oplus \frac{ \pi }{ 2 } < \varphi \leqslant \pi \right)[/math], (смысл ограничений [math]\varphi \ne -\frac{ \pi }{ 2 }[/math] и [math]\varphi \ne \frac{ \pi }{ 2 }[/math] станет ясен из нижеследующего) [math]\leftrightarrow\left(\frac{ e^{2iz}-1 }{e^{2iz}+1 }=ie^{i \varphi } \right) \leftrightarrow\left( e^{2iz}=\frac{ 1+ie^{i \varphi } }{ 1-ie^{i \varphi } } \right) \leftrightarrow \left( e^{2iz}=\frac{ 1+e^{i\frac{ \pi }{ 2 } } e^{i \varphi } }{ 1-e^{i\frac{ \pi }{ 2 } } e^{i \varphi } } \right) \leftrightarrow\left( e^{2iz}=i\operatorname{ctg}\left( {\frac{ \varphi }{ 2 }+\frac{ \pi }{ 4 } } \right) \right) \leftrightarrow \left(2iz=\left\{\!\begin{aligned}
& \ln{\left| \operatorname{ctg}{\left( \frac{ \varphi }{ 2 }+\frac{ \pi }{ 4 } \right) } \right|+i\frac{ \pi }{ 2 }+2 \pi ki }, -\frac{ \pi }{ 2 } < \varphi < \frac{ \pi }{ 2 }, k \in \mathbb{Z} \\
& \ln{\left| \operatorname{ctg}{\left( \frac{ \varphi }{ 2 }+\frac{ \pi }{ 4 } \right) } \right|-i\frac{ \pi }{ 2 }+2 \pi ki }, - \pi < \varphi < -\frac{ \pi }{ 2 } \oplus \frac{ \pi }{ 2 } < \varphi \leqslant \pi , k \in \mathbb{Z}
\end{aligned}\right. \right) \leftrightarrow[/math]

[math]\leftrightarrow \left( z=\left\{\!\begin{aligned}
& -\frac{ i }{ 2 } \ln{\left| \operatorname{ctg}{\left( \frac{ \varphi }{ 2 }+\frac{ \pi }{ 4 } \right) } \right|+\frac{ \pi }{ 4 }+\pi k }, -\frac{ \pi }{ 2 } < \varphi < \frac{ \pi }{ 2 }, k \in \mathbb{Z} \\
& -\frac{ i }{ 2 } \ln{\left| \operatorname{ctg}{\left( \frac{ \varphi }{ 2 }+\frac{ \pi }{ 4 } \right) } \right|-\frac{ \pi }{ 4 }+ \pi k }, - \pi < \varphi < -\frac{ \pi }{ 2 } \oplus \frac{ \pi }{ 2 } < \varphi \leqslant \pi , k \in \mathbb{Z}
\end{aligned}\right. \right)[/math]
.

Ясно, что оно - неправильное: при [math]\varphi =0[/math] не получается известная из вещественной тригонометрии серия корней.

В задачнике (Л. И. Волковыский, Г. Л. Лунц, И. Г. Араманович. Сборник задач по теории функций комплексного переменного, задача 1.70) ответ такой: [math]\operatorname{Re}z=\frac{ \pi }{ 4 }+\frac{ \pi k }{ 2 }, k \in \mathbb{Z}[/math].

Прошу указать в моих рассуждениях ошибку. Заранее искренне признателен Вам.

Автор:  Student Studentovich [ 04 окт 2017, 15:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1

Kirill1986
Честно сказать не стал разбираться в Ваших записях

[math]\tan(x+iy)=\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)+\cosh (2 y)}+i\frac{ \sinh (2 y)}{\cos (2 x)+\cosh (2 y)},[/math]

[math]\left(\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)+\cosh (2 y)}\right)^2+\left(\frac{\sinh (2 y)}{\cos (2 x)+\cosh (2 y)}\right)^2=1,[/math]

[math]\frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)+\cosh (2 y)}=0,[/math]

[math]\cos (2 x)=0,[/math]
[math]x=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi k}{2},\, k\in \mathbb{Z}.[/math]

Это множество совпадает со множеством указанным в ответе.

Автор:  Kirill1986 [ 04 окт 2017, 16:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1

Student Studentovich, поясните, пожалуйста, как из второй строчки Ваших выкладок Вы получили третью.

Автор:  Kirill1986 [ 04 окт 2017, 16:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1

Еще. Если вторую строчку умножить на [math]\left( \cos{\left( 2x \right) } +\operatorname{ch}\left( 2y \right) \right)^{2}[/math], то после несложных преобразований получается:

[math]\cos{\left( 4x \right) }+1+2\cos{\left( 2x \right) }\operatorname{ch}\left( 2y \right) =0[/math].

Прошу прощения! Это - лишнее сообщение...

Автор:  Student Studentovich [ 04 окт 2017, 16:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1

Приводите к общему знаменателю с [math]1[/math], раскройте скобки, используйте [math]\cosh ^2(\xi )-\sinh ^2(\xi )=1,\,\,1-\sin^2\xi=\cos^2\xi[/math] и получите в числителе [math]-2 \cos (2 x) (\cos (2 x)+\cosh (2 y))[/math]. После сокращения получите то что надо.

Автор:  Student Studentovich [ 04 окт 2017, 16:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1

Kirill1986 писал(а):
Еще. Если вторую строчку умножить на [math]\left( \cos{\left( 2x \right) } +\operatorname{ch}\left( 2y \right) \right)^{2}[/math], то после несложных преобразований получается:

[math]\cos{\left( 2x \right) }+1+2\cos{\left( 2x \right) }\operatorname{ch}\left( 2y \right) =0[/math].

]

не получается, у Вас ошибка вкралась. Попробую расписать

[math]\sin ^2(2 x)+\sinh ^2(2 y)-(\cos (2 x)+\cosh (2 y))^2,[/math]

[math]\sin ^2(2 x)-\cos ^2(2 x)+\sinh ^2(2 y)-\cosh ^2(2 y)-2 \cos (2 x) \cosh (2 y),[/math]

[math]\sin ^2(2 x)-\cos ^2(2 x)-1-2 \cos (2 x) \cosh (2 y),[/math]

[math]-2 \cos(2 x)^2 - 2 \cos(2 x) \cosh(2 y),[/math]

[math]-2 \cos (2 x) (\cos (2 x)+\cosh (2 y)).[/math]

Уфффф! Написал

Автор:  Kirill1986 [ 04 окт 2017, 16:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1

Не нужно. Уже разобрался.

Автор:  Student Studentovich [ 04 окт 2017, 17:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1

Kirill1986
:beer:

Автор:  Kirill1986 [ 04 окт 2017, 17:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1

Да я уже все понял. Спасибо! :beer:

Автор:  Kirill1986 [ 04 окт 2017, 17:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1

У меня так и получается, если [math]\cos{\left( 4x \right) }[/math] раскрыть как [math]2\cos^{2} {\left( 2x \right) } -1[/math].

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/