Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1
СообщениеДобавлено: 04 окт 2017, 14:16 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
24 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброе утро, уважаемые форумчане!

Помогите, пожалуйста, разобраться с такой задачей. Требуется найти все комплексные [math]z[/math], при которых [math]\left| \operatorname{tg}{z} \right|=1[/math]. Вот мое решение:

[math]\left( \left| \operatorname{tg}{z} \right|=1 \right) \leftrightarrow \left( \operatorname{tg}{z}=e^{i \varphi }, - \pi < \varphi < -\frac{ \pi }{ 2 } \oplus -\frac{ \pi }{ 2 } < \varphi < \frac{ \pi }{ 2 } \oplus \frac{ \pi }{ 2 } < \varphi \leqslant \pi \right)[/math], (смысл ограничений [math]\varphi \ne -\frac{ \pi }{ 2 }[/math] и [math]\varphi \ne \frac{ \pi }{ 2 }[/math] станет ясен из нижеследующего) [math]\leftrightarrow\left(\frac{ e^{2iz}-1 }{e^{2iz}+1 }=ie^{i \varphi } \right) \leftrightarrow\left( e^{2iz}=\frac{ 1+ie^{i \varphi } }{ 1-ie^{i \varphi } } \right) \leftrightarrow \left( e^{2iz}=\frac{ 1+e^{i\frac{ \pi }{ 2 } } e^{i \varphi } }{ 1-e^{i\frac{ \pi }{ 2 } } e^{i \varphi } } \right) \leftrightarrow\left( e^{2iz}=i\operatorname{ctg}\left( {\frac{ \varphi }{ 2 }+\frac{ \pi }{ 4 } } \right) \right) \leftrightarrow \left(2iz=\left\{\!\begin{aligned}
& \ln{\left| \operatorname{ctg}{\left( \frac{ \varphi }{ 2 }+\frac{ \pi }{ 4 } \right) } \right|+i\frac{ \pi }{ 2 }+2 \pi ki }, -\frac{ \pi }{ 2 } < \varphi < \frac{ \pi }{ 2 }, k \in \mathbb{Z} \\
& \ln{\left| \operatorname{ctg}{\left( \frac{ \varphi }{ 2 }+\frac{ \pi }{ 4 } \right) } \right|-i\frac{ \pi }{ 2 }+2 \pi ki }, - \pi < \varphi < -\frac{ \pi }{ 2 } \oplus \frac{ \pi }{ 2 } < \varphi \leqslant \pi , k \in \mathbb{Z}
\end{aligned}\right. \right) \leftrightarrow[/math]

[math]\leftrightarrow \left( z=\left\{\!\begin{aligned}
& -\frac{ i }{ 2 } \ln{\left| \operatorname{ctg}{\left( \frac{ \varphi }{ 2 }+\frac{ \pi }{ 4 } \right) } \right|+\frac{ \pi }{ 4 }+\pi k }, -\frac{ \pi }{ 2 } < \varphi < \frac{ \pi }{ 2 }, k \in \mathbb{Z} \\
& -\frac{ i }{ 2 } \ln{\left| \operatorname{ctg}{\left( \frac{ \varphi }{ 2 }+\frac{ \pi }{ 4 } \right) } \right|-\frac{ \pi }{ 4 }+ \pi k }, - \pi < \varphi < -\frac{ \pi }{ 2 } \oplus \frac{ \pi }{ 2 } < \varphi \leqslant \pi , k \in \mathbb{Z}
\end{aligned}\right. \right)[/math]
.

Ясно, что оно - неправильное: при [math]\varphi =0[/math] не получается известная из вещественной тригонометрии серия корней.

В задачнике (Л. И. Волковыский, Г. Л. Лунц, И. Г. Араманович. Сборник задач по теории функций комплексного переменного, задача 1.70) ответ такой: [math]\operatorname{Re}z=\frac{ \pi }{ 4 }+\frac{ \pi k }{ 2 }, k \in \mathbb{Z}[/math].

Прошу указать в моих рассуждениях ошибку. Заранее искренне признателен Вам.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1
СообщениеДобавлено: 04 окт 2017, 15:36 
В сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 22:32
Сообщений: 778
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
115 раз в 109 сообщениях
Очков репутации: 17

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Kirill1986
Честно сказать не стал разбираться в Ваших записях

[math]\tan(x+iy)=\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)+\cosh (2 y)}+i\frac{ \sinh (2 y)}{\cos (2 x)+\cosh (2 y)},[/math]

[math]\left(\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)+\cosh (2 y)}\right)^2+\left(\frac{\sinh (2 y)}{\cos (2 x)+\cosh (2 y)}\right)^2=1,[/math]

[math]\frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)+\cosh (2 y)}=0,[/math]

[math]\cos (2 x)=0,[/math]
[math]x=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi k}{2},\, k\in \mathbb{Z}.[/math]

Это множество совпадает со множеством указанным в ответе.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Student Studentovich "Спасибо" сказали:
Kirill1986
 Заголовок сообщения: Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1
СообщениеДобавлено: 04 окт 2017, 16:07 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
24 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Student Studentovich, поясните, пожалуйста, как из второй строчки Ваших выкладок Вы получили третью.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1
СообщениеДобавлено: 04 окт 2017, 16:38 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
24 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще. Если вторую строчку умножить на [math]\left( \cos{\left( 2x \right) } +\operatorname{ch}\left( 2y \right) \right)^{2}[/math], то после несложных преобразований получается:

[math]\cos{\left( 4x \right) }+1+2\cos{\left( 2x \right) }\operatorname{ch}\left( 2y \right) =0[/math].

Прошу прощения! Это - лишнее сообщение...


Последний раз редактировалось Kirill1986 04 окт 2017, 16:57, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1
СообщениеДобавлено: 04 окт 2017, 16:48 
В сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 22:32
Сообщений: 778
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
115 раз в 109 сообщениях
Очков репутации: 17

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приводите к общему знаменателю с [math]1[/math], раскройте скобки, используйте [math]\cosh ^2(\xi )-\sinh ^2(\xi )=1,\,\,1-\sin^2\xi=\cos^2\xi[/math] и получите в числителе [math]-2 \cos (2 x) (\cos (2 x)+\cosh (2 y))[/math]. После сокращения получите то что надо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1
СообщениеДобавлено: 04 окт 2017, 16:50 
В сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 22:32
Сообщений: 778
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
115 раз в 109 сообщениях
Очков репутации: 17

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Kirill1986 писал(а):
Еще. Если вторую строчку умножить на [math]\left( \cos{\left( 2x \right) } +\operatorname{ch}\left( 2y \right) \right)^{2}[/math], то после несложных преобразований получается:

[math]\cos{\left( 2x \right) }+1+2\cos{\left( 2x \right) }\operatorname{ch}\left( 2y \right) =0[/math].

]

не получается, у Вас ошибка вкралась. Попробую расписать

[math]\sin ^2(2 x)+\sinh ^2(2 y)-(\cos (2 x)+\cosh (2 y))^2,[/math]

[math]\sin ^2(2 x)-\cos ^2(2 x)+\sinh ^2(2 y)-\cosh ^2(2 y)-2 \cos (2 x) \cosh (2 y),[/math]

[math]\sin ^2(2 x)-\cos ^2(2 x)-1-2 \cos (2 x) \cosh (2 y),[/math]

[math]-2 \cos(2 x)^2 - 2 \cos(2 x) \cosh(2 y),[/math]

[math]-2 \cos (2 x) (\cos (2 x)+\cosh (2 y)).[/math]

Уфффф! Написал


Последний раз редактировалось Student Studentovich 04 окт 2017, 17:00, всего редактировалось 3 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Student Studentovich "Спасибо" сказали:
Kirill1986
 Заголовок сообщения: Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1
СообщениеДобавлено: 04 окт 2017, 16:58 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
24 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не нужно. Уже разобрался.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1
СообщениеДобавлено: 04 окт 2017, 17:01 
В сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 22:32
Сообщений: 778
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
115 раз в 109 сообщениях
Очков репутации: 17

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Kirill1986
:beer:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1
СообщениеДобавлено: 04 окт 2017, 17:06 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
24 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да я уже все понял. Спасибо! :beer:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1
СообщениеДобавлено: 04 окт 2017, 17:08 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
24 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня так и получается, если [math]\cos{\left( 4x \right) }[/math] раскрыть как [math]2\cos^{2} {\left( 2x \right) } -1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти все U, при которых решения системы

в форуме Алгебра

Daria2195

5

183

08 дек 2013, 18:14

Найти все значения a, при которых сходится ряд

в форуме Ряды

Lukita

9

399

16 дек 2012, 16:11

Найти К, при которых оба корня отрицательны

в форуме Алгебра

Nas_tya+-

1

146

02 мар 2015, 23:36

Найти все углы, для которых выполняется равенство

в форуме Тригонометрия

Acya96

3

738

18 мар 2012, 19:32

Найти множество точек в которых функция U(x,y) или (V(x,y))

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

adakuchiki

7

494

02 май 2013, 15:27

Найти все кривые, у которых подкасательная пропорциональна

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

nusha

7

524

25 ноя 2011, 18:01

Найти все значения х ,при которых справедливо равенство

в форуме Алгебра

Rok122

1

261

22 дек 2011, 19:02

Найти значения параметра, при которых функция неотрицательна

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

maked0n

6

733

07 сен 2013, 22:32

Найти значения параметра а, при которых вершины парабол

в форуме Алгебра

06091996

4

428

27 окт 2013, 14:59

Найти тройки чисел,для которых последовательность возрастает

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Petya

0

255

08 сен 2013, 14:30


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved