Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1
СообщениеДобавлено: 04 окт 2017, 13:16 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 15:04
Сообщений: 100
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
27 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброе утро, уважаемые форумчане!

Помогите, пожалуйста, разобраться с такой задачей. Требуется найти все комплексные [math]z[/math], при которых [math]\left| \operatorname{tg}{z} \right|=1[/math]. Вот мое решение:

[math]\left( \left| \operatorname{tg}{z} \right|=1 \right) \leftrightarrow \left( \operatorname{tg}{z}=e^{i \varphi }, - \pi < \varphi < -\frac{ \pi }{ 2 } \oplus -\frac{ \pi }{ 2 } < \varphi < \frac{ \pi }{ 2 } \oplus \frac{ \pi }{ 2 } < \varphi \leqslant \pi \right)[/math], (смысл ограничений [math]\varphi \ne -\frac{ \pi }{ 2 }[/math] и [math]\varphi \ne \frac{ \pi }{ 2 }[/math] станет ясен из нижеследующего) [math]\leftrightarrow\left(\frac{ e^{2iz}-1 }{e^{2iz}+1 }=ie^{i \varphi } \right) \leftrightarrow\left( e^{2iz}=\frac{ 1+ie^{i \varphi } }{ 1-ie^{i \varphi } } \right) \leftrightarrow \left( e^{2iz}=\frac{ 1+e^{i\frac{ \pi }{ 2 } } e^{i \varphi } }{ 1-e^{i\frac{ \pi }{ 2 } } e^{i \varphi } } \right) \leftrightarrow\left( e^{2iz}=i\operatorname{ctg}\left( {\frac{ \varphi }{ 2 }+\frac{ \pi }{ 4 } } \right) \right) \leftrightarrow \left(2iz=\left\{\!\begin{aligned}
& \ln{\left| \operatorname{ctg}{\left( \frac{ \varphi }{ 2 }+\frac{ \pi }{ 4 } \right) } \right|+i\frac{ \pi }{ 2 }+2 \pi ki }, -\frac{ \pi }{ 2 } < \varphi < \frac{ \pi }{ 2 }, k \in \mathbb{Z} \\
& \ln{\left| \operatorname{ctg}{\left( \frac{ \varphi }{ 2 }+\frac{ \pi }{ 4 } \right) } \right|-i\frac{ \pi }{ 2 }+2 \pi ki }, - \pi < \varphi < -\frac{ \pi }{ 2 } \oplus \frac{ \pi }{ 2 } < \varphi \leqslant \pi , k \in \mathbb{Z}
\end{aligned}\right. \right) \leftrightarrow[/math]

[math]\leftrightarrow \left( z=\left\{\!\begin{aligned}
& -\frac{ i }{ 2 } \ln{\left| \operatorname{ctg}{\left( \frac{ \varphi }{ 2 }+\frac{ \pi }{ 4 } \right) } \right|+\frac{ \pi }{ 4 }+\pi k }, -\frac{ \pi }{ 2 } < \varphi < \frac{ \pi }{ 2 }, k \in \mathbb{Z} \\
& -\frac{ i }{ 2 } \ln{\left| \operatorname{ctg}{\left( \frac{ \varphi }{ 2 }+\frac{ \pi }{ 4 } \right) } \right|-\frac{ \pi }{ 4 }+ \pi k }, - \pi < \varphi < -\frac{ \pi }{ 2 } \oplus \frac{ \pi }{ 2 } < \varphi \leqslant \pi , k \in \mathbb{Z}
\end{aligned}\right. \right)[/math]
.

Ясно, что оно - неправильное: при [math]\varphi =0[/math] не получается известная из вещественной тригонометрии серия корней.

В задачнике (Л. И. Волковыский, Г. Л. Лунц, И. Г. Араманович. Сборник задач по теории функций комплексного переменного, задача 1.70) ответ такой: [math]\operatorname{Re}z=\frac{ \pi }{ 4 }+\frac{ \pi k }{ 2 }, k \in \mathbb{Z}[/math].

Прошу указать в моих рассуждениях ошибку. Заранее искренне признателен Вам.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1
СообщениеДобавлено: 04 окт 2017, 14:36 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 21:32
Сообщений: 1066
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 68
Спасибо получено:
190 раз в 177 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Kirill1986
Честно сказать не стал разбираться в Ваших записях

[math]\tan(x+iy)=\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)+\cosh (2 y)}+i\frac{ \sinh (2 y)}{\cos (2 x)+\cosh (2 y)},[/math]

[math]\left(\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)+\cosh (2 y)}\right)^2+\left(\frac{\sinh (2 y)}{\cos (2 x)+\cosh (2 y)}\right)^2=1,[/math]

[math]\frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)+\cosh (2 y)}=0,[/math]

[math]\cos (2 x)=0,[/math]
[math]x=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi k}{2},\, k\in \mathbb{Z}.[/math]

Это множество совпадает со множеством указанным в ответе.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Student Studentovich "Спасибо" сказали:
Kirill1986
 Заголовок сообщения: Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1
СообщениеДобавлено: 04 окт 2017, 15:07 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 15:04
Сообщений: 100
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
27 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Student Studentovich, поясните, пожалуйста, как из второй строчки Ваших выкладок Вы получили третью.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1
СообщениеДобавлено: 04 окт 2017, 15:38 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 15:04
Сообщений: 100
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
27 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще. Если вторую строчку умножить на [math]\left( \cos{\left( 2x \right) } +\operatorname{ch}\left( 2y \right) \right)^{2}[/math], то после несложных преобразований получается:

[math]\cos{\left( 4x \right) }+1+2\cos{\left( 2x \right) }\operatorname{ch}\left( 2y \right) =0[/math].

Прошу прощения! Это - лишнее сообщение...


Последний раз редактировалось Kirill1986 04 окт 2017, 15:57, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1
СообщениеДобавлено: 04 окт 2017, 15:48 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 21:32
Сообщений: 1066
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 68
Спасибо получено:
190 раз в 177 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приводите к общему знаменателю с [math]1[/math], раскройте скобки, используйте [math]\cosh ^2(\xi )-\sinh ^2(\xi )=1,\,\,1-\sin^2\xi=\cos^2\xi[/math] и получите в числителе [math]-2 \cos (2 x) (\cos (2 x)+\cosh (2 y))[/math]. После сокращения получите то что надо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1
СообщениеДобавлено: 04 окт 2017, 15:50 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 21:32
Сообщений: 1066
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 68
Спасибо получено:
190 раз в 177 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Kirill1986 писал(а):
Еще. Если вторую строчку умножить на [math]\left( \cos{\left( 2x \right) } +\operatorname{ch}\left( 2y \right) \right)^{2}[/math], то после несложных преобразований получается:

[math]\cos{\left( 2x \right) }+1+2\cos{\left( 2x \right) }\operatorname{ch}\left( 2y \right) =0[/math].

]

не получается, у Вас ошибка вкралась. Попробую расписать

[math]\sin ^2(2 x)+\sinh ^2(2 y)-(\cos (2 x)+\cosh (2 y))^2,[/math]

[math]\sin ^2(2 x)-\cos ^2(2 x)+\sinh ^2(2 y)-\cosh ^2(2 y)-2 \cos (2 x) \cosh (2 y),[/math]

[math]\sin ^2(2 x)-\cos ^2(2 x)-1-2 \cos (2 x) \cosh (2 y),[/math]

[math]-2 \cos(2 x)^2 - 2 \cos(2 x) \cosh(2 y),[/math]

[math]-2 \cos (2 x) (\cos (2 x)+\cosh (2 y)).[/math]

Уфффф! Написал


Последний раз редактировалось Student Studentovich 04 окт 2017, 16:00, всего редактировалось 3 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Student Studentovich "Спасибо" сказали:
Kirill1986
 Заголовок сообщения: Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1
СообщениеДобавлено: 04 окт 2017, 15:58 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 15:04
Сообщений: 100
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
27 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не нужно. Уже разобрался.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1
СообщениеДобавлено: 04 окт 2017, 16:01 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 21:32
Сообщений: 1066
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 68
Спасибо получено:
190 раз в 177 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Kirill1986
:beer:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1
СообщениеДобавлено: 04 окт 2017, 16:06 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 15:04
Сообщений: 100
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
27 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да я уже все понял. Спасибо! :beer:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти все комплексные z, при которых |tg z|=1
СообщениеДобавлено: 04 окт 2017, 16:08 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 15:04
Сообщений: 100
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
27 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня так и получается, если [math]\cos{\left( 4x \right) }[/math] раскрыть как [math]2\cos^{2} {\left( 2x \right) } -1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 14 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти все х для которых ряд сходится

в форуме Ряды

yelesar

2

361

24 мар 2023, 17:16

Найти К, при которых оба корня отрицательны

в форуме Алгебра

Nas_tya+-

1

309

02 мар 2015, 22:36

На поверхности найти точки, в которых

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

xnalio

1

237

06 июл 2021, 14:01

Найти все значения аи b,при которых функция непрерывна R^2

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

MrKreter

3

523

14 май 2021, 08:39

Найти все точки, в которых дифференцируема функция

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

oksana_oksana

6

297

27 мар 2022, 23:45

Найти все точки, в которых дифференцируема функция

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Olik_tg

9

356

19 окт 2021, 12:00

Найти точки, в которых существует производная функции

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Cherviblo

7

942

29 сен 2014, 13:00

Найти с иморивнистю 0,95 границы, в которых будет содержатьс

в форуме Теория вероятностей

Sukor

0

121

11 янв 2021, 23:51

Найти границы, в которых могут лежать вероятности P1 и P2

в форуме Теория вероятностей

Andryhich

0

372

18 апр 2016, 01:16

Найти значения параметра, при которых интеграл сходится

в форуме Интегральное исчисление

mathkid

1

611

09 ноя 2017, 19:28


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved