Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
mad_math |
|
|
Столкнулась с проблемой: нужно проверить, является ли оригиналом функция [math]\chi (t)\cdot e^{i\cdot t^2}[/math]. Меня смущает наличие мнимой единицы в степени, так как оригинал должен быть функцией от действительного переменного. Спасибо за внимание. С уважением, Светлана. |
||
Вернуться к началу | ||
_Sasha_ |
|
|
mad_math писал(а): так как оригинал должен быть функцией от действительного переменного. Так оригинал и есть функция от действительного переменного [math]t[/math], только он является комплекснозначной функцией: (смотрите например определение функции-оригинала в книге А.А.Гусак, Г.М.Гусак, Е.А.Бричикова "Справочник по высшей матаматике", 8-е издание, Минск, "ТетраСистемс", 2007). [math]\left| f\left( t \right) \right| \leqslant 1[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю _Sasha_ "Спасибо" сказали: mad_math |
||
Andy |
|
|
По-моему, функция [math]f(t)= \chi(t) \cdot e^{it^2}[/math] не является оригиналом, потому что при [math]t \to +\infty[/math] она растёт быстрее показательной функции. Её рост является неограниченным, то есть
[math]\varlimsup_{t \to +\infty} \frac{\ln{\left| f(t) \right| } }{t}=\lim_{t \to +\infty} t = +\infty.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали: mad_math |
||
mad_math |
|
|
Andy писал(а): По-моему, функция [math]f(t)= \chi(t) \cdot e^{it^2}[/math] не является оригиналом, потому что при [math]t \to +\infty[/math] она растёт быстрее показательной функции. С мнимой единицей по формуле Эйлера мы получим [math]e^{i\cdot t^2}=i\cdot \sin t^2[/math], а синус уже ограниченная функция. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали: Andy |
||
_Sasha_ |
|
|
mad_math писал(а): С мнимой единицей по формуле Эйлера мы получим [math]e^{i\cdot t^2}=i\cdot \sin t^2[/math], а синус уже ограниченная функция. [math]e^{i \varphi }=\cos{ \varphi } +i \sin{ \varphi }[/math]. В нашем случае [math]e^{i t^2 }=\cos{t^2} +i \sin{ t^2}[/math]. Последний раз редактировалось _Sasha_ 26 май 2017, 12:04, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю _Sasha_ "Спасибо" сказали: Andy |
||
_Sasha_ |
|
|
Если я правильно понимаю, то [math]\chi \left( t \right)[/math] - это функция Хевисайда.
Тогда, [math]\left| \chi \left( t \right) \cdot e^{it^2} \right|=\left| \chi \left( t \right) \right| \cdot \left| e^{it^2} \right| \leqslant 1 \cdot \left| e^{it^2} \right|= \left| e^{it^2} \right| =\left| \cos{t^2}+i\sin{t^2} \right| = \sqrt{\cos{t^2} +\sin{t^2 }} = 1 \leqslant[/math] [math]\leqslant 1 \cdot e^{0 \cdot t}[/math]. Последний раз редактировалось _Sasha_ 26 май 2017, 12:09, всего редактировалось 2 раз(а). |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю _Sasha_ "Спасибо" сказали: mad_math |
||
Andy |
|
|
mad_math
_Sasha_ |
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
Andy
|
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
_Sasha_ писал(а): Так оригинал и есть функция от действительного переменного t, только он является комплекснозначной функцией: Так я и запуталась в том вопросе, относить ли мнимую единицу к переменной t или уже к выражению для самой функции. |
||
Вернуться к началу | ||
_Sasha_ |
|
|
mad_math писал(а): Так я и запуталась в том вопросе, относить ли мнимую единицу к переменной t или уже к выражению для самой функции. Ну, я не понял, что Вы хотели сказать. Ваш оригинал - эта функция [math]f \,\colon R \to C[/math] - область определения оригинала - это множество действительных чисел, область значения оригинала - это множество комплексных чисел. В оригинале, кроме действительного аргумента [math]t[/math] могут присутствовать и комплексные величины. Например, найдём следующее значение оригинала [math]f\left( \sqrt{\frac{ \pi }{ 2 } } \right) = e^{\frac{ \pi }{ 2 }i } = \cos{\frac{ \pi }{ 2 } }+i\sin{\frac{ \pi }{ 2 } } = i[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю _Sasha_ "Спасибо" сказали: mad_math |
||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: slava_psk и гости: 18 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |