Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Является ли функция оригиналом
СообщениеДобавлено: 25 май 2017, 21:09 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток, уважаемые соучастники.
Столкнулась с проблемой: нужно проверить, является ли оригиналом функция [math]\chi (t)\cdot e^{i\cdot t^2}[/math].
Меня смущает наличие мнимой единицы в степени, так как оригинал должен быть функцией от действительного переменного.
Спасибо за внимание.
С уважением, Светлана.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Является ли функция оригиналом
СообщениеДобавлено: 26 май 2017, 03:49 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 448
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
101 раз в 98 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
так как оригинал должен быть функцией от действительного переменного.

Так оригинал и есть функция от действительного переменного [math]t[/math], только он является комплекснозначной функцией: (смотрите например определение функции-оригинала в книге А.А.Гусак, Г.М.Гусак, Е.А.Бричикова "Справочник по высшей матаматике", 8-е издание, Минск, "ТетраСистемс", 2007).


[math]\left| f\left( t \right) \right| \leqslant 1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю _Sasha_ "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Является ли функция оригиналом
СообщениеДобавлено: 26 май 2017, 09:04 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По-моему, функция [math]f(t)= \chi(t) \cdot e^{it^2}[/math] не является оригиналом, потому что при [math]t \to +\infty[/math] она растёт быстрее показательной функции. Её рост является неограниченным, то есть
[math]\varlimsup_{t \to +\infty} \frac{\ln{\left| f(t) \right| } }{t}=\lim_{t \to +\infty} t = +\infty.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Является ли функция оригиналом
СообщениеДобавлено: 26 май 2017, 11:47 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
По-моему, функция [math]f(t)= \chi(t) \cdot e^{it^2}[/math] не является оригиналом, потому что при [math]t \to +\infty[/math] она растёт быстрее показательной функции.
С мнимой единицей по формуле Эйлера мы получим [math]e^{i\cdot t^2}=i\cdot \sin t^2[/math], а синус уже ограниченная функция.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Andy
 Заголовок сообщения: Re: Является ли функция оригиналом
СообщениеДобавлено: 26 май 2017, 11:53 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 448
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
101 раз в 98 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
С мнимой единицей по формуле Эйлера мы получим [math]e^{i\cdot t^2}=i\cdot \sin t^2[/math], а синус уже ограниченная функция.

[math]e^{i \varphi }=\cos{ \varphi } +i \sin{ \varphi }[/math].


В нашем случае

[math]e^{i t^2 }=\cos{t^2} +i \sin{ t^2}[/math].


Последний раз редактировалось _Sasha_ 26 май 2017, 12:04, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю _Sasha_ "Спасибо" сказали:
Andy
 Заголовок сообщения: Re: Является ли функция оригиналом
СообщениеДобавлено: 26 май 2017, 12:01 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 448
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
101 раз в 98 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если я правильно понимаю, то [math]\chi \left( t \right)[/math] - это функция Хевисайда.

Тогда,

[math]\left| \chi \left( t \right) \cdot e^{it^2} \right|=\left| \chi \left( t \right)

\right| \cdot \left| e^{it^2} \right| \leqslant 1 \cdot \left| e^{it^2} \right|= \left| e^{it^2}

\right| =\left| \cos{t^2}+i\sin{t^2} \right| = \sqrt{\cos{t^2} +\sin{t^2 }} = 1 \leqslant[/math]

[math]\leqslant 1 \cdot e^{0 \cdot t}[/math].


Последний раз редактировалось _Sasha_ 26 май 2017, 12:09, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю _Sasha_ "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Является ли функция оригиналом
СообщениеДобавлено: 26 май 2017, 12:04 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math
_Sasha_
Надо же. Совсем забыл про формулу Эйлера... :cry:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Является ли функция оригиналом
СообщениеДобавлено: 26 май 2017, 12:34 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy
Andy писал(а):
mad_math
_Sasha_
[offtop]Надо же. Совсем забыл про формулу Эйлера... :cry:
Я похоже тоже, раз косинус не написала. :cry:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Является ли функция оригиналом
СообщениеДобавлено: 26 май 2017, 12:37 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
_Sasha_ писал(а):
Так оригинал и есть функция от действительного переменного t, только он является комплекснозначной функцией:
Так я и запуталась в том вопросе, относить ли мнимую единицу к переменной t или уже к выражению для самой функции.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Является ли функция оригиналом
СообщениеДобавлено: 26 май 2017, 13:05 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 448
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
101 раз в 98 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
Так я и запуталась в том вопросе, относить ли мнимую единицу к переменной t или уже к выражению для самой функции.

Ну, я не понял, что Вы хотели сказать.

Ваш оригинал - эта функция [math]f \,\colon R \to C[/math] - область определения оригинала - это множество действительных чисел, область значения оригинала - это множество комплексных чисел.

В оригинале, кроме действительного аргумента [math]t[/math] могут присутствовать и комплексные величины.

Например, найдём следующее значение оригинала

[math]f\left( \sqrt{\frac{ \pi }{ 2 } } \right) = e^{\frac{ \pi }{ 2 }i } = \cos{\frac{ \pi }{ 2 } }+i\sin{\frac{ \pi }{ 2 } } = i[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю _Sasha_ "Спасибо" сказали:
mad_math
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Является ли нормой функция

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

shtormik02

1

750

21 апр 2015, 20:27

Является ли функция метрикой?

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

romanovapb

4

1629

27 июн 2015, 14:09

Является ли функция характеристической?

в форуме Теория вероятностей

SenyaVenya

1

335

05 сен 2019, 15:59

Является ли функция ограниченной

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

KrOks

11

667

30 окт 2016, 21:57

Является ли функция метрикой на R

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

laser22

1

1017

19 янв 2016, 16:42

Является ли функция знакоопределенной, знакопостоянной?

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Susanna Gaybaryan

1

175

18 сен 2020, 12:56

Выяснить является ли функция шефферовой

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Alcantara

3

1038

06 дек 2016, 14:08

Доказать, что функция не является многочленом

в форуме Алгебра

Andy

4

1077

22 ноя 2017, 20:20

Является ли функция дифференцируемой и аналитической

в форуме Дифференциальное исчисление

EvilNintendo

2

192

23 дек 2016, 14:16

Проверить является ли эластичной функция Z в t0

в форуме Интегральное исчисление

Bilbo2015

0

370

25 мар 2015, 19:16


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: slava_psk и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved