Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Является ли функция оригиналом
СообщениеДобавлено: 25 май 2017, 22:09 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18470
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11132
Спасибо получено:
5044 раз в 4557 сообщениях
Очков репутации: 684

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток, уважаемые соучастники.
Столкнулась с проблемой: нужно проверить, является ли оригиналом функция [math]\chi (t)\cdot e^{i\cdot t^2}[/math].
Меня смущает наличие мнимой единицы в степени, так как оригинал должен быть функцией от действительного переменного.
Спасибо за внимание.
С уважением, Светлана.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Является ли функция оригиналом
СообщениеДобавлено: 26 май 2017, 04:49 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 04:01
Сообщений: 351
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
85 раз в 84 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
так как оригинал должен быть функцией от действительного переменного.

Так оригинал и есть функция от действительного переменного [math]t[/math], только он является комплекснозначной функцией: (смотрите например определение функции-оригинала в книге А.А.Гусак, Г.М.Гусак, Е.А.Бричикова "Справочник по высшей матаматике", 8-е издание, Минск, "ТетраСистемс", 2007).


[math]\left| f\left( t \right) \right| \leqslant 1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю _Sasha_ "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Является ли функция оригиналом
СообщениеДобавлено: 26 май 2017, 10:04 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 15213
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 953
Спасибо получено:
3347 раз в 3095 сообщениях
Очков репутации: 646

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По-моему, функция [math]f(t)= \chi(t) \cdot e^{it^2}[/math] не является оригиналом, потому что при [math]t \to +\infty[/math] она растёт быстрее показательной функции. Её рост является неограниченным, то есть
[math]\varlimsup_{t \to +\infty} \frac{\ln{\left| f(t) \right| } }{t}=\lim_{t \to +\infty} t = +\infty.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Является ли функция оригиналом
СообщениеДобавлено: 26 май 2017, 12:47 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18470
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11132
Спасибо получено:
5044 раз в 4557 сообщениях
Очков репутации: 684

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
По-моему, функция [math]f(t)= \chi(t) \cdot e^{it^2}[/math] не является оригиналом, потому что при [math]t \to +\infty[/math] она растёт быстрее показательной функции.
С мнимой единицей по формуле Эйлера мы получим [math]e^{i\cdot t^2}=i\cdot \sin t^2[/math], а синус уже ограниченная функция.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Andy
 Заголовок сообщения: Re: Является ли функция оригиналом
СообщениеДобавлено: 26 май 2017, 12:53 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 04:01
Сообщений: 351
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
85 раз в 84 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
С мнимой единицей по формуле Эйлера мы получим [math]e^{i\cdot t^2}=i\cdot \sin t^2[/math], а синус уже ограниченная функция.

[math]e^{i \varphi }=\cos{ \varphi } +i \sin{ \varphi }[/math].


В нашем случае

[math]e^{i t^2 }=\cos{t^2} +i \sin{ t^2}[/math].


Последний раз редактировалось _Sasha_ 26 май 2017, 13:04, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю _Sasha_ "Спасибо" сказали:
Andy
 Заголовок сообщения: Re: Является ли функция оригиналом
СообщениеДобавлено: 26 май 2017, 13:01 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 04:01
Сообщений: 351
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
85 раз в 84 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если я правильно понимаю, то [math]\chi \left( t \right)[/math] - это функция Хевисайда.

Тогда,

[math]\left| \chi \left( t \right) \cdot e^{it^2} \right|=\left| \chi \left( t \right)

\right| \cdot \left| e^{it^2} \right| \leqslant 1 \cdot \left| e^{it^2} \right|= \left| e^{it^2}

\right| =\left| \cos{t^2}+i\sin{t^2} \right| = \sqrt{\cos{t^2} +\sin{t^2 }} = 1 \leqslant[/math]

[math]\leqslant 1 \cdot e^{0 \cdot t}[/math].


Последний раз редактировалось _Sasha_ 26 май 2017, 13:09, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю _Sasha_ "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Является ли функция оригиналом
СообщениеДобавлено: 26 май 2017, 13:04 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 15213
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 953
Спасибо получено:
3347 раз в 3095 сообщениях
Очков репутации: 646

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math
_Sasha_
Надо же. Совсем забыл про формулу Эйлера... :cry:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Является ли функция оригиналом
СообщениеДобавлено: 26 май 2017, 13:34 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18470
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11132
Спасибо получено:
5044 раз в 4557 сообщениях
Очков репутации: 684

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy
Andy писал(а):
mad_math
_Sasha_
[offtop]Надо же. Совсем забыл про формулу Эйлера... :cry:
Я похоже тоже, раз косинус не написала. :cry:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Является ли функция оригиналом
СообщениеДобавлено: 26 май 2017, 13:37 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18470
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11132
Спасибо получено:
5044 раз в 4557 сообщениях
Очков репутации: 684

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
_Sasha_ писал(а):
Так оригинал и есть функция от действительного переменного t, только он является комплекснозначной функцией:
Так я и запуталась в том вопросе, относить ли мнимую единицу к переменной t или уже к выражению для самой функции.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Является ли функция оригиналом
СообщениеДобавлено: 26 май 2017, 14:05 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 04:01
Сообщений: 351
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
85 раз в 84 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
Так я и запуталась в том вопросе, относить ли мнимую единицу к переменной t или уже к выражению для самой функции.

Ну, я не понял, что Вы хотели сказать.

Ваш оригинал - эта функция [math]f \,\colon R \to C[/math] - область определения оригинала - это множество действительных чисел, область значения оригинала - это множество комплексных чисел.

В оригинале, кроме действительного аргумента [math]t[/math] могут присутствовать и комплексные величины.

Например, найдём следующее значение оригинала

[math]f\left( \sqrt{\frac{ \pi }{ 2 } } \right) = e^{\frac{ \pi }{ 2 }i } = \cos{\frac{ \pi }{ 2 } }+i\sin{\frac{ \pi }{ 2 } } = i[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю _Sasha_ "Спасибо" сказали:
mad_math
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Является ли нормой функция

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

shtormik02

1

289

21 апр 2015, 21:27

Является ли функция ограниченной

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

KrOks

11

181

30 окт 2016, 22:57

является ли аналитичной функция

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

_albina_

5

528

24 апр 2012, 22:28

Является ли функция метрикой на R

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

laser22

1

263

19 янв 2016, 17:42

Является ли функция метрикой?

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

romanovapb

4

508

27 июн 2015, 15:09

Какой является функция.

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

datgen

0

261

17 янв 2013, 00:27

Доказать что функция является метрикой

в форуме Численные методы

jonygibson

2

1088

16 апр 2014, 17:46

Является ли функция дифференцируемой и аналитической

в форуме Дифференциальное исчисление

EvilNintendo

2

70

23 дек 2016, 15:16

Доказать, что функция является метрикой

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

denis_balatskiy

1

289

09 апр 2016, 03:57

Является ли функция решением диф.уравнения?

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Svetilnik

8

326

23 фев 2014, 18:29


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved