Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти образ кольца при дробно-линейном отображении
СообщениеДобавлено: 27 мар 2017, 18:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 мар 2017, 18:03
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите найти образ области при дробно-линейном отображении
[math]\mathsf{D}[/math] [math]=[/math] [math]\left\{ z \,\colon 1 < z < 2 \right\}[/math]
[math]\mathsf{w} = \frac{ z+1 }{ z+2 }[/math]
Нашёл, что большая окружность радиуса |z|=2 переходит в прямую x=3/4, и соотвественно, областью является Rez<3/4
Однако проблемы с малой окружностью |z|=1, при попытке подставить z=cost+isint получается не очень красивое выражение, которое очень сложно преобразовать
Помогите, пожалуйста, с образом малой окружности, знаю, что должна получиться окружность радиуса 1/3 с центром в точке (1/3;0)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти образ кольца при дробно-линейном отображении
СообщениеДобавлено: 27 мар 2017, 19:44 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2381
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
341 раз в 326 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Выразите [math]z[/math] через [math]w[/math] и приравняйте модуль полученного к [math]1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти образ кольца при дробно-линейном отображении
СообщениеДобавлено: 27 мар 2017, 20:31 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 мар 2017, 18:03
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Выразите z через w и приравняйте модуль полученного к 1.

[math]\left| \frac{ 1-2w }{ w-1 } \right|[/math] [math]= 1[/math]
[math]\mathsf{w} = 0[/math], [math]\mathsf{w} = \frac{ 2 }{ 3 }[/math]
Это граничные точки, верно? Это нужно как-то обосновывать? Этих вычислений достаточно? Нужна ли третья точка или на этом нахождение образа можно закончить?
Уравнение окружности можно записать в виде [math]\left( \mathsf{u} - \frac{ 1 }{ 3 } \right)^{2} + \mathsf{v} ^{2} = \left( \frac{ 1 }{ 3 } \right) ^{2}[/math]?
В ответе написано [math]\left| \mathsf{w} - \frac{ 1 }{ 3 } \right| > \frac{ 1 }{ 3 }[/math] и [math]\mathsf{u} < \frac{ 3 }{ 4 }[/math]
Как получить первую часть ответа? Или её можно записать, исходя из вычислений выше
Извиняюсь за столько вопросов)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти образ кольца при дробно-линейном отображении
СообщениеДобавлено: 27 мар 2017, 21:07 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2381
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
341 раз в 326 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Launc писал(а):
searcher писал(а):
Выразите z через w и приравняйте модуль полученного к 1.

[math]\left| \frac{ 1-2w }{ w-1 } \right|[/math] [math]= 1[/math]

Это есть уравнение окружности. Подставьте сюда [math]w=u+iv[/math], выразите модуль через корень и возведите в квадрат.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти образ кольца при дробно-линейном отображении
СообщениеДобавлено: 27 мар 2017, 21:10 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2381
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
341 раз в 326 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Launc писал(а):
Как получить первую часть ответа?

Можно чисто из геометрических соображений, учитывая смысл модуля.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти образ кольца при дробно-линейном отображении
СообщениеДобавлено: 27 мар 2017, 21:51 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 мар 2017, 18:03
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Launc писал(а):
searcher писал(а):
Выразите z через w и приравняйте модуль полученного к 1.

[math]\left| \frac{ 1-2w }{ w-1 } \right|[/math] [math]= 1[/math]

Это есть уравнение окружности. Подставьте сюда [math]w=u+iv[/math], выразите модуль через корень и возведите в квадрат.

Изображение
А что теперь с этим делать? Очень напоминает то выражение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти образ кольца при дробно-линейном отображении
СообщениеДобавлено: 27 мар 2017, 22:26 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2381
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
341 раз в 326 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Launc писал(а):
Изображение
А что теперь с этим делать? Очень напоминает то выражение

А вот это выражение у вас ошибочно. Оно было бы правильным, если вместо круглых скобок были бы прямые чёрточки модуля или его квадрата. Открывайте учебник и изучайте как подсчитать квадрат модуля комплексного числа.
(Пока писал ответ, изображение пропало. Надеюсь появится уже в исправленном виде).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Launc
 Заголовок сообщения: Re: Найти образ кольца при дробно-линейном отображении
СообщениеДобавлено: 27 мар 2017, 23:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 мар 2017, 18:03
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ах, извиняюсь
Вот это ближе к правде или я совсем не туда ушёл?
Изображение
Upd Возвёл обе части в квадрат, перенес, привел подобные, дополнил до полного квадрата - действительно получилось уравнение
Изображение
И всё же, как теперь записать максимально близко к ответу
Или полученных вычислений вкупе с рисунком хватит?
Впрочем, как я понимаю, можно взять несколько точек первой и второй окружности и показать, что отображение точек первой не попадает в полученный круг радиуса 1/3, а область отображения второй лежит левее линии x=3/4

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти образ E области D при дробно-линейном отображении

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Freestarka

2

1425

13 мар 2013, 10:55

Найти образ E области D при дробно-линейном отображении

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Fendor

1

131

27 мар 2016, 19:10

Найти образ при отображении

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

delmel

6

374

21 апр 2015, 23:57

Найти образ E области D при заданном отображении

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

goodson85

1

386

15 апр 2015, 23:02

Найти образ области D при заданном отображении w(z)

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

aleksey22095

5

423

24 май 2015, 13:08

Размерность образа пространства L при линейном отображении

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

famesyasd

5

124

19 июн 2016, 11:26

Сигма-кольца и дельта-кольца

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Free Dreamer

0

499

30 ноя 2012, 02:40

Найти образы следующих линий при отображении функцией Жуковс

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

as_bir

1

85

19 дек 2016, 23:45

Найти образ угла

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

qwer

0

118

23 июн 2016, 14:53

Найти образ квадранта

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

NohchI95

14

510

03 янв 2014, 15:41


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved