Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
radist108 |
|
|
Могут ли местные знатоки ТФКП без формул объяснить, какую информацию несет себе понятие и значение вычета в какой-либо точке? Как я понимаю, если мы возьмем функцию с несколькими полюсами. Значение функции в полюсе будет равно бесконечности. Если мы этот полюс "выкинем", то значение функции в этой же точке станет равным значению вычета. Правильно ли я понимаю и что всё это значит? В книгах много формул и толкований с применением ряда Лорана и прочего, но хотелось бы, чтобы эти понятия "ожили". Как, к примеру, можно объяснять определенный интеграл как сложными формулами и теоремами, так и одной лишь фразой "площадь под кривой", отчего всё сразу становится понятным и очевидным. Спасибо. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
radist108 писал(а): Правильно ли я понимаю и что всё это значит? Ежели вы понимаете, то значит и должны знать, что все это значит. Я, например, в вашу фразу radist108 писал(а): Если мы этот полюс "выкинем", то значение функции в этой же точке станет равным значению вычета. не въехал. Так что объяснить, что это значит, вам не смогу. Может вы для начала объясните, откуда у вас такое понимание? |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
radist108 писал(а): Значение функции в полюсе будет равно бесконечности. Если мы этот полюс "выкинем", то значение функции в этой же точке станет равным значению вычета. Правильно ли я понимаю и что всё это значит? Это Ваша фантазия. Вам надо прочитать для начала определение вычета. Вычетом функции комплексной переменной в заданной точке называют значение интеграла от этой функции по контуру вокруг заданной точки, поделенное на число [math]2 \pi i[/math]. С другой стороны, вычет - это просто коэффициент разложения этой же функции в ряд Лорана при члене минус 1 степени. С практической точки зрения именно последний факт является наиболее важным в вычислительном плане. Интересно отметить, что, если этого слагаемого нет в разложении Лорана, то соответствующий контурный интеграл всегда равен нулю (при условии отсутствия других полюсов внутри контура), даже если есть другие слагаемые с отрицательными степенями. Хотя Ваша фантазия вполне объяснима - путаница с другим известным красивым фактом: [math]2 \pi i f(a)=\oint\limits_{a} \frac{ f(z)dz }{ z-a }[/math] при условии аналитичности функции [math]f(z)[/math] внутри контура вокруг точки [math]z=a[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: radist108 |
||
searcher |
|
|
radist108 писал(а): В книгах много формул и толкований с применением ряда Лорана и прочего, но хотелось бы, чтобы эти понятия "ожили". Для того, чтобы понятия "ожили", надо самому что-то делать своими руками. Например, моё понимание вычетов произошло из того, что я своими руками (следуя учебнику, но не подглядывая в него) подсчитал интеграл от функции [math]f(z)=z^n[/math] (здесь n - произвольное целое число) по окружности с центром в нуле. И, если для неотрицательных [math]n[/math] я результат "понял" (в том смысле, что мог объяснить, откуда он такой взялся), то для отрицательных [math]n[/math] воспринял его в смысле "вот оно оказывается как!". Т.е. в основе понимания может лежать и "опытный факт". |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: radist108 |
||
radist108 |
|
|
Спасибо.
Тогда такой вопрос. У вычета есть геометрическая интерпретация? |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
radist108 писал(а): У вычета есть геометрическая интерпретация? radist108. Сильно ли вас расстроит факт, если таковой не найдётся? Я думаю, что связь с геометрией тут всё же есть, но назвать эту связь интерпретацией я опасаюсь. Например вычет функции [math]f(z)[/math] в точке [math]z=z_0[/math] связан со скоростью роста [math]|f(z)|[/math] при стремлении [math]z[/math] к [math]z_0[/math]. И называть всё это геометрией тоже спорно. И, вообще, стоит ли везде искать именно "геометрическую" интерпретацию? Что это вам даст? Хотя там, где она есть, она безусловно полезна. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: radist108 |
||
searcher |
|
|
Может суть вычетов состоит в следующем. Рассмотрим область - внутренность единичного круга с центром в нуле за исключением самого нуля. Рассмотрим в этой области функцию [math]f(z)=z^n[/math], где [math]n[/math] - произвольное целое число. Так у этой функции для любого [math]n\ne -1[/math] существует в нашей области первообразная. А для [math]n=-1[/math] не существует. Как объяснить сей факт - не знаю. Думаю, что вот так получилось и всё. И это ведёт к тому, что если считаешь интеграл от аналитической функции по контуру ( в нашем случае вокруг нуля - но это не принципиально), то вместо всей функции достаточно взять её маленький кусок - член [math]c_{-1}z_{-1}[/math] в ряде Лорана, что сокращает вычисления.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: radist108 |
||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Выражение символа квадратичного вычета
в форуме Теория чисел |
1 |
304 |
26 окт 2014, 13:56 |
|
Вычисление интеграла с помощью вычета | 5 |
294 |
24 июл 2018, 21:51 |
|
Вычисление интеграла с помощью вычета | 2 |
286 |
31 июл 2018, 13:45 |
|
Привести примеры вычета и сравнения многочленов | 2 |
252 |
22 сен 2020, 17:10 |
|
Задача на нахождение наименьшего неотрицательного вычета
в форуме Теория чисел |
3 |
306 |
06 ноя 2020, 15:57 |
|
Понятие | 11 |
595 |
14 июл 2021, 02:33 |
|
Понятие функции | 124 |
2608 |
15 янв 2018, 13:17 |
|
Понятие эметтера | 1 |
269 |
13 ноя 2014, 23:22 |
|
Понятие транспонированной матрицы
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
10 |
1272 |
30 янв 2018, 01:19 |
|
Понятие непрерывности функции
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
17 |
694 |
25 июл 2018, 03:29 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |