Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Понятие вычета
СообщениеДобавлено: 03 фев 2017, 01:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 янв 2014, 08:24
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приветствую всех!
Могут ли местные знатоки ТФКП без формул объяснить, какую информацию несет себе понятие и значение вычета в какой-либо точке? Как я понимаю, если мы возьмем функцию с несколькими полюсами. Значение функции в полюсе будет равно бесконечности. Если мы этот полюс "выкинем", то значение функции в этой же точке станет равным значению вычета. Правильно ли я понимаю и что всё это значит? В книгах много формул и толкований с применением ряда Лорана и прочего, но хотелось бы, чтобы эти понятия "ожили". Как, к примеру, можно объяснять определенный интеграл как сложными формулами и теоремами, так и одной лишь фразой "площадь под кривой", отчего всё сразу становится понятным и очевидным.
Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Понятие вычета
СообщениеДобавлено: 03 фев 2017, 09:16 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
radist108 писал(а):
Правильно ли я понимаю и что всё это значит?

Ежели вы понимаете, то значит и должны знать, что все это значит. Я, например, в вашу фразу
radist108 писал(а):
Если мы этот полюс "выкинем", то значение функции в этой же точке станет равным значению вычета.
не въехал. Так что объяснить, что это значит, вам не смогу. Может вы для начала объясните, откуда у вас такое понимание?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Понятие вычета
СообщениеДобавлено: 03 фев 2017, 09:19 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
radist108 писал(а):
Значение функции в полюсе будет равно бесконечности. Если мы этот полюс "выкинем", то значение функции в этой же точке станет равным значению вычета. Правильно ли я понимаю и что всё это значит?

Это Ваша фантазия. Вам надо прочитать для начала определение вычета. Вычетом функции комплексной переменной в заданной точке называют значение интеграла от этой функции по контуру вокруг заданной точки, поделенное на число [math]2 \pi i[/math]. С другой стороны, вычет - это просто коэффициент разложения этой же функции в ряд Лорана при члене минус 1 степени. С практической точки зрения именно последний факт является наиболее важным в вычислительном плане. Интересно отметить, что, если этого слагаемого нет в разложении Лорана, то соответствующий контурный интеграл всегда равен нулю (при условии отсутствия других полюсов внутри контура), даже если есть другие слагаемые с отрицательными степенями.
Хотя Ваша фантазия вполне объяснима - путаница с другим известным красивым фактом: [math]2 \pi i f(a)=\oint\limits_{a} \frac{ f(z)dz }{ z-a }[/math] при условии аналитичности функции [math]f(z)[/math] внутри контура вокруг точки [math]z=a[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
radist108
 Заголовок сообщения: Re: Понятие вычета
СообщениеДобавлено: 03 фев 2017, 10:02 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
radist108 писал(а):
В книгах много формул и толкований с применением ряда Лорана и прочего, но хотелось бы, чтобы эти понятия "ожили".

Для того, чтобы понятия "ожили", надо самому что-то делать своими руками. Например, моё понимание вычетов произошло из того, что я своими руками (следуя учебнику, но не подглядывая в него) подсчитал интеграл от функции [math]f(z)=z^n[/math] (здесь n - произвольное целое число) по окружности с центром в нуле. И, если для неотрицательных [math]n[/math] я результат "понял" (в том смысле, что мог объяснить, откуда он такой взялся), то для отрицательных [math]n[/math] воспринял его в смысле "вот оно оказывается как!". Т.е. в основе понимания может лежать и "опытный факт".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
radist108
 Заголовок сообщения: Re: Понятие вычета
СообщениеДобавлено: 03 фев 2017, 11:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 янв 2014, 08:24
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо.
Тогда такой вопрос. У вычета есть геометрическая интерпретация?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Понятие вычета
СообщениеДобавлено: 04 фев 2017, 14:45 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
radist108 писал(а):
У вычета есть геометрическая интерпретация?

radist108. Сильно ли вас расстроит факт, если таковой не найдётся? Я думаю, что связь с геометрией тут всё же есть, но назвать эту связь интерпретацией я опасаюсь. Например вычет функции [math]f(z)[/math] в точке [math]z=z_0[/math] связан со скоростью роста [math]|f(z)|[/math] при стремлении [math]z[/math] к [math]z_0[/math]. И называть всё это геометрией тоже спорно. И, вообще, стоит ли везде искать именно "геометрическую" интерпретацию? Что это вам даст? Хотя там, где она есть, она безусловно полезна.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
radist108
 Заголовок сообщения: Re: Понятие вычета
СообщениеДобавлено: 04 фев 2017, 23:58 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Может суть вычетов состоит в следующем. Рассмотрим область - внутренность единичного круга с центром в нуле за исключением самого нуля. Рассмотрим в этой области функцию [math]f(z)=z^n[/math], где [math]n[/math] - произвольное целое число. Так у этой функции для любого [math]n\ne -1[/math] существует в нашей области первообразная. А для [math]n=-1[/math] не существует. Как объяснить сей факт - не знаю. Думаю, что вот так получилось и всё. И это ведёт к тому, что если считаешь интеграл от аналитической функции по контуру ( в нашем случае вокруг нуля - но это не принципиально), то вместо всей функции достаточно взять её маленький кусок - член [math]c_{-1}z_{-1}[/math] в ряде Лорана, что сокращает вычисления.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
radist108
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Выражение символа квадратичного вычета

в форуме Теория чисел

qrawter

1

304

26 окт 2014, 13:56

Вычисление интеграла с помощью вычета

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Over77over

5

294

24 июл 2018, 21:51

Вычисление интеграла с помощью вычета

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Over77over

2

286

31 июл 2018, 13:45

Привести примеры вычета и сравнения многочленов

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

lelch_1

2

252

22 сен 2020, 17:10

Задача на нахождение наименьшего неотрицательного вычета

в форуме Теория чисел

BrODYGA

3

306

06 ноя 2020, 15:57

Понятие

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

maksim-maksim

11

595

14 июл 2021, 02:33

Понятие функции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

maksim-maksim

124

2608

15 янв 2018, 13:17

Понятие эметтера

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Nicolay_8

1

269

13 ноя 2014, 23:22

Понятие транспонированной матрицы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

inetskin

10

1272

30 янв 2018, 01:19

Понятие непрерывности функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Andreww

17

694

25 июл 2018, 03:29


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved