Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интегральная формула Коши
СообщениеДобавлено: 27 май 2016, 17:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 май 2016, 23:09
Сообщений: 23
Откуда: Днепр
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
у меня есть такой интеграл [math]\int\limits_{\left| z \right| = 2} {\frac{{e^{iz} }}
{{(z - 1)^3 }}} dz[/math]
. Раскладываю знаменатель дроби так: [math](z - 1)^3 = (z - 1)(z^2 - 2z + 1)[/math]. Решив полученные уравнения получаю [math]z = 1[/math], следовательно данная точка входит в область окружности с радиусом 2 ([math]\left| z \right| = 2[/math]). Потом я записываю корень решенного квадратного уравнения в таком виде [math](z - 1)[/math] и все подставляю в знаменатель подынтегральной функции и получаю: [math]\int\limits_{\left| z \right| = 2} {\frac{{e^{iz} }}
{{(z - 1)(z - 1)}}} dz[/math]
. Подскажите пожалуйста, как использовать интегральную формулу Коши в данном случае, какой вид примет данный интеграл.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегральная формула Коши
СообщениеДобавлено: 27 май 2016, 19:08 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Silver писал(а):
∫|z|=2eiz(z−1)(z−1)dz\int\limits_{\left| z \right| = 2} {\frac{{e^{iz} }} {{(z - 1)(z - 1)}}} dz. Подскажите пожалуйста, как использовать интегральную формулу Коши в данном случае, какой вид примет данный интеграл.

А как вообще задание сформулировано? Использовать формулу Коши обязательно? Если только подсчитать интеграл, то читайте про вычеты.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегральная формула Коши
СообщениеДобавлено: 27 май 2016, 19:13 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 май 2016, 23:09
Сообщений: 23
Откуда: Днепр
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
именно формулой Коши

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегральная формула Коши
СообщениеДобавлено: 27 май 2016, 19:27 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В классической формуле Коши в знаменателе степень единица. Поэтому раскладываете подинтегральную функции в ряд Лорана и берёте только коэффициент при [math](z-1)^{-1}[/math] и умножаете его на [math]2\pi i[/math]. Остальные члены ряда Лорана нас не волнуют, поскольку интегралы там зануляются. Советую почитать теорию про ряды Лорана. А может кто пояснее объяснит.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегральная формула Коши
СообщениеДобавлено: 27 май 2016, 19:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 май 2016, 23:09
Сообщений: 23
Откуда: Днепр
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
спасибо

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегральная формула Коши
СообщениеДобавлено: 27 май 2016, 20:39 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Чтобы применить формулу Коши [math]2\pi i f(a)=\int\limits_{\left| z \right| = 2} {\frac{f(z)}{{(z - a) }}} dz[/math], два раза продифференцируйте её по параметру [math]a[/math]: [math]2\pi i f''(a)=2\int\limits_{\left| z \right| = 2} {\frac{f(z)}{{(z - a) }^3}} dz[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Silver
 Заголовок сообщения: Re: Интегральная формула Коши
СообщениеДобавлено: 27 май 2016, 22:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 май 2016, 23:09
Сообщений: 23
Откуда: Днепр
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel
и теперь с интегралом [math]2\int\limits_{\left| z \right| = 2} {\frac{{e^{iz} }}
{{(z - 1)^3 }}} dz[/math]
можно выполнить действия которые я делал выше?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегральная формула Коши
СообщениеДобавлено: 28 май 2016, 09:35 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Какой Вы непонятливый! Теперь Вам достаточно взять для вычисления интеграла левое (а не правое) выражение в моем посте с второй производной и просто подставить туда [math]a=1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегральная формула Коши
СообщениеДобавлено: 28 май 2016, 20:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 май 2016, 23:09
Сообщений: 23
Откуда: Днепр
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel и получим интеграл вида [math]\int\limits_{\left| z \right| = 2} {\frac{{e^{iz} }}
{{(z - 1)}}dz}[/math]
?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегральная формула Коши
СообщениеДобавлено: 28 май 2016, 22:35 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Silver писал(а):
michel и получим интеграл вида [math]\int\limits_{\left| z \right| = 2} {\frac{{e^{iz} }}
{{(z - 1)}}dz}[/math]
?
Нет, мы получим [math]2\int\limits_{\left| z \right| = 2} {\frac{{e^{iz} }}
{{(z - 1)}^3}dz}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 14 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Интегральная формула Коши

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Sykes

6

179

19 июл 2021, 07:15

Интегральная формула Коши

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

anastasia96

4

226

10 июн 2020, 11:31

Интегральная формула Коши

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

ExtreMaLLlka

1

480

17 сен 2015, 12:05

Интегральная формула Коши

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

luidjy

3

318

04 май 2022, 19:05

Интегральная формула Коши

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

carti539

4

68

13 мар 2024, 18:48

интегральная формула Коши для производной

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

sansii35

1

256

12 янв 2021, 16:33

Интегральная формула Коши, ТФКП

в форуме Интегральное исчисление

BillyBinn

2

801

18 окт 2017, 15:22

Интегральная формула Коши, комплексные значения

в форуме Интегральное исчисление

Volya1196

3

321

08 июн 2017, 11:34

Интегральная формула

в форуме Теория вероятностей

Sava

6

204

21 май 2020, 19:25

ТФКП. Интегральная теорема Коши

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

s_t_udent_

1

552

08 дек 2018, 20:45


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved