Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Разложить комплексную функцию в ряд Тейлора
СообщениеДобавлено: 21 янв 2011, 22:36 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 окт 2010, 20:35
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти три первых члена, отличных от нуля, разложения в ряд Тейлора в окрестности точки [math]z_0[/math] данной функции [math]f(z)=\frac{1}{e^z+1},~z_0=0[/math].

Вот что у меня получилось, но есть затруднения!!!

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить комплексную функцию в ряд Тейлора
СообщениеДобавлено: 22 янв 2011, 10:23 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Первым способом Вы действовали в "лоб", не оглядываясь на область сходимости рядов. Поэтому и возникли проблемы. Лучше начинать так

[math]\frac{1}{{1 + e^z }} = \frac{1}{{2 - \left( {1 - e^z } \right)}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}\left( {1 - e^z } \right)}}[/math]

Далее, положим [math]1-e^z= -z\left(1+\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+\ldots\right)=-z\cdot g(z)[/math]

Тогда [math]\frac{1}{1+e^z}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\left(\frac{z}{2}\right)^kg^k(z)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{z}{2}g(z)+\left(\frac{z}{2}\right)^2g^2(z)-\left(\frac{z}{2}\right)^3g^3(z)+O(z^4)\right)[/math]

Здесь, кажется, взято на одно слагаемое больше чем надо, но если взять меньше, то коэффициент при второй степени исчезает, и в результате получаем меньшее число ненулевых слагаемых, чем требуется.
Рассмотрим первые четыре слагаемых в скобках

[math]1-\frac{z}{2}g(z)+\left(\frac{z}{2}\right)^2g^2(z)-\left(\frac{z}{2}\right)^3g^3(z) =[/math]

[math]=1-\frac{z}{2}\left(1+\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+O(z^3)\right)+\left(\frac{z}{2}\right)^2\left(1+\frac{z}{2!}+O(z^2)\right)^2-\left(\frac{z}{2}\right)^3(1+O(z)\right)^3=[/math]

[math]=1-\frac{z}{2}+\frac{z^3}{24}+O(z^4)[/math]

Ответ: [math]\frac{1}{1+e^z}=\frac{1}{2}-\frac{z}{4}+\frac{z^3}{48}+O(z^4)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Alexdemath, mad_math, yagodka
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Разложить функцию в ряд Тейлора

в форуме Ряды

Pechenqko

24

1055

29 дек 2015, 20:44

Разложить функцию в ряд Тейлора

в форуме Ряды

351w

4

238

16 янв 2020, 08:38

Разложить функцию в ряд Тейлора

в форуме Ряды

overmouse

6

225

20 апр 2020, 14:43

Разложить функцию в ряд Тейлора

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

YoungMathematician

3

266

17 ноя 2018, 19:53

Разложить функцию в ряд Тейлора

в форуме Ряды

351w

9

570

05 май 2021, 05:47

Разложить функцию в ряд Тейлора

в форуме Ряды

Pashasnuff

15

1127

09 май 2014, 15:26

Разложить функцию в ряд Тейлора

в форуме Ряды

mihailkumar

2

325

06 янв 2021, 19:02

Разложить функцию в ряд Тейлора

в форуме Ряды

351w

1

152

20 ноя 2020, 21:14

Разложить функцию в ряд Тейлора

в форуме Ряды

R136a1

2

153

13 май 2022, 20:18

Разложить функцию в ряд Тейлора

в форуме Ряды

351w

6

244

04 июн 2020, 17:27


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved