Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
yagodka |
|
|
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Первым способом Вы действовали в "лоб", не оглядываясь на область сходимости рядов. Поэтому и возникли проблемы. Лучше начинать так
[math]\frac{1}{{1 + e^z }} = \frac{1}{{2 - \left( {1 - e^z } \right)}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}\left( {1 - e^z } \right)}}[/math] Далее, положим [math]1-e^z= -z\left(1+\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+\ldots\right)=-z\cdot g(z)[/math] Тогда [math]\frac{1}{1+e^z}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\left(\frac{z}{2}\right)^kg^k(z)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{z}{2}g(z)+\left(\frac{z}{2}\right)^2g^2(z)-\left(\frac{z}{2}\right)^3g^3(z)+O(z^4)\right)[/math] Здесь, кажется, взято на одно слагаемое больше чем надо, но если взять меньше, то коэффициент при второй степени исчезает, и в результате получаем меньшее число ненулевых слагаемых, чем требуется. Рассмотрим первые четыре слагаемых в скобках [math]1-\frac{z}{2}g(z)+\left(\frac{z}{2}\right)^2g^2(z)-\left(\frac{z}{2}\right)^3g^3(z) =[/math] [math]=1-\frac{z}{2}\left(1+\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+O(z^3)\right)+\left(\frac{z}{2}\right)^2\left(1+\frac{z}{2!}+O(z^2)\right)^2-\left(\frac{z}{2}\right)^3(1+O(z)\right)^3=[/math] [math]=1-\frac{z}{2}+\frac{z^3}{24}+O(z^4)[/math] Ответ: [math]\frac{1}{1+e^z}=\frac{1}{2}-\frac{z}{4}+\frac{z^3}{48}+O(z^4)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Alexdemath, mad_math, yagodka |
||
[ Сообщений: 2 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Разложить функцию в ряд Тейлора
в форуме Ряды |
24 |
1055 |
29 дек 2015, 20:44 |
|
Разложить функцию в ряд Тейлора
в форуме Ряды |
4 |
238 |
16 янв 2020, 08:38 |
|
Разложить функцию в ряд Тейлора
в форуме Ряды |
6 |
225 |
20 апр 2020, 14:43 |
|
Разложить функцию в ряд Тейлора | 3 |
266 |
17 ноя 2018, 19:53 |
|
Разложить функцию в ряд Тейлора
в форуме Ряды |
9 |
570 |
05 май 2021, 05:47 |
|
Разложить функцию в ряд Тейлора
в форуме Ряды |
15 |
1127 |
09 май 2014, 15:26 |
|
Разложить функцию в ряд Тейлора
в форуме Ряды |
2 |
325 |
06 янв 2021, 19:02 |
|
Разложить функцию в ряд Тейлора
в форуме Ряды |
1 |
152 |
20 ноя 2020, 21:14 |
|
Разложить функцию в ряд Тейлора
в форуме Ряды |
2 |
153 |
13 май 2022, 20:18 |
|
Разложить функцию в ряд Тейлора
в форуме Ряды |
6 |
244 |
04 июн 2020, 17:27 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |