Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Разложения на дроби
СообщениеДобавлено: 18 дек 2013, 16:47 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 июн 2011, 11:57
Сообщений: 340
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
52 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ребята, пожалуйста, как лучше разложить эту дробь (Цель разложить в ряд Лорана)
[math]\[\begin{array}{l}
f(z) = \frac{{{z^5}}}{{{{({z^2} + 2z - 3)}^2}}} + \cos \frac{1}{z};|z| > 3 \\
\frac{{{z^5}}}{{{{({z^2} + 2z - 3)}^2}}} = \frac{{{z^5}}}{{{{(z + 3)}^2}{{(z - 1)}^2}}} = \frac{A}{{z + 3}} + \frac{B}{{{{(z + 3)}^2}}} + \frac{C}{{(z - 1)}} + \frac{D}{{{{(z - 1)}^2}}} = \frac{{A(z + 3){{(z - 1)}^2} + B{{(z - 1)}^2} + C(z - 1){{(z + 3)}^2} + D{{(z + 3)}^2}}}{{{{({z^2} + 2z - 3)}^2}}} \\
z = 1 \to 16D = 1 \to D = \frac{1}{{16}} \\
z = - 3 \to 16B = - 243 \to B = \frac{{ - 243}}{{16}} \\
z = 0 \\
3A + B - 9C + 9D = 0 \\
z = - 1 \\
8A + 4B - 8C + 4D = - 1 \\
\left\{ \begin{array}{l}
3A - \frac{{243}}{{16}} - 9C + \frac{9}{{16}} = 0 \\
8A - \frac{{243}}{4} - 8C + \frac{1}{4} = - 1 \\
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
3A - 9C = \frac{{234}}{{16}} \\
8A - 8C = - 1 + \frac{{242}}{4} = \frac{{238}}{4}; \\
\end{array} \right. \\
- 72C + 24C = \frac{{234}}{2} - \frac{{357}}{2} = \frac{{ - 123}}{2}; \\
C = \frac{{123}}{{96}} \\
3A = \frac{{234}}{{16}} + \frac{{9*123}}{{96}} = \frac{{6*234 + 9*123}}{{96}} = \frac{{1404 + 1107}}{{96}} = \frac{{2511}}{{96}} \\
A = \frac{{837}}{{96}} \\
\to \frac{{837}}{{z + 3}} - \frac{{243}}{{16{{(z + 3)}^2}}} + \frac{{123}}{{96(z - 1)}} + \frac{1}{{16{{(z - 1)}^2}}} \\
\end{array}\][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложения на дроби
СообщениеДобавлено: 18 дек 2013, 16:58 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 июн 2011, 11:57
Сообщений: 340
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
52 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А нельзя ли сначала найти ряд 1/((z+3)(z-1)) (без квадрата) потом дифференцировать тот ряд?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложения на дроби
СообщениеДобавлено: 18 дек 2013, 17:30 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы неверно начали разложение на элементарные дроби. У вас степень знаменателя меньше степени числителя, т.е. сначала нужно выделить целую часть.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложения на дроби
СообщениеДобавлено: 18 дек 2013, 17:45 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 июн 2011, 11:57
Сообщений: 340
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
52 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math
Cпасибо, а нельзя ли сначала найти ряд 1/((z+3)(z-1)) (без квадрата) потом дифференцировать тот ряд?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложения на дроби
СообщениеДобавлено: 18 дек 2013, 17:48 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\left(\frac{1}{z^2+2z-3}\right)'=-\frac{2z+2}{(z^2+2z-3)^2}[/math] - с исходной функцией не совпадает.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
mozhik
 Заголовок сообщения: Re: Разложения на дроби
СообщениеДобавлено: 18 дек 2013, 17:54 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 июн 2011, 11:57
Сообщений: 340
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
52 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math
Спасибо большое!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложения на дроби
СообщениеДобавлено: 18 дек 2013, 18:08 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сдаётся мне, тут должна быть какая-то хитрость. Потому как разложение на сумму выходит слишком уж тяжёлым.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложения на дроби
СообщениеДобавлено: 18 дек 2013, 18:44 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 июн 2011, 11:57
Сообщений: 340
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
52 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math
Там многочлен получается z-4 а дальше еще правильная дробь... Получилось, но коэффициенты страшные довольно таки)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложения на дроби
СообщениеДобавлено: 18 дек 2013, 18:57 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мне пришла в голову только идея сделать так:
[math]\frac{z^5}{(z+3)^2(z-1)^2}=\frac{1}{\frac{1}{z^5}(z+3)^2(z-1)2}=\frac{1}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{3}{z}\right)^2\left(1-\frac{1}{z}\right)^2}[/math]
Так как для разложения при [math]|z|>3[/math] нужно будет преобразовывать к [math]\left|\frac{3}{z}\right|<1[/math] для использования известных разложений.
Тогда, сделав временную замену, [math]t=\frac{1}{z}[/math], можно попробовать разложить на элементарные дроби выражение
[math]\frac{1}{t(1+3t)^2(1-t)^2}[/math]
Правда в результате разложение тоже не очень красивое и простое получается.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
mozhik
 Заголовок сообщения: Re: Разложения на дроби
СообщениеДобавлено: 18 дек 2013, 19:23 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 июн 2011, 11:57
Сообщений: 340
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
52 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math
Забавно ) Так даже красивее)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Формула разложения дроби на простейшие

в форуме Интегральное исчисление

Araik

6

182

10 апр 2019, 20:08

Разложения матриц

в форуме Литература и Онлайн-ресурсы по математике

ilya1991

3

482

03 окт 2018, 11:29

Разложения матриц

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

BabyRooJr

1

637

05 мар 2019, 10:49

Однозначность разложения

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Grek79

2

301

13 янв 2016, 16:54

Лорановские разложения

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Qilfur

1

146

13 окт 2020, 09:08

KJI-Алгоритм LU-разложения

в форуме Численные методы

MyOwnSurgery

0

198

20 апр 2020, 22:16

Разложения в степенной ряд решения ДУ

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

supra29

1

236

30 апр 2016, 20:40

Минимальное поел разложения

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

cuttheknot

1

466

24 май 2021, 01:00

Найти 6-й член разложения

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

ivantrostohkin

7

1089

23 июн 2017, 14:05

Коэффициенты разложения в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Alex07

2

528

20 янв 2017, 08:33


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved