Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Hagrael |
|
|
[math]\gamma^2 = \frac{3}{2i-1}[/math] Я его привел к виду: [math]\gamma^2 = i^2\frac{3}{5}(1+2i)[/math] Но вот потом немного застопорился. Я тут подумал над операцией взятия корня... В случае с вещественными числами корень дает нам положительное число, дающее в квадрате то, что мы записали под корнем. Но в случае комплексного числа, думаю, здесь корень имеет другой смысл. Думаю, здесь это неоднозначная функция, дающая сразу же много значений. Но вот могу ли я записать [math]\sqrt{abc} = \sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{c}[/math]? |
||
Вернуться к началу | ||
Hagrael |
|
|
Да, понял, могу Теперь привожу это уравнение к виду [math]\gamma = \pm\sqrt{\frac{3}{5}} \sqrt{1+2i}[/math]. И теперь остается найти корень из [math]1+2i[/math]. Хотелось бы красиво найти его через тригонометрическую форму записи комплексного числа, но там не получаются красивые углы. Так что я попробовал найти этот корень через обычную форму записи, составил уравнение [math](x+yi)^2=1+2i[/math], далее получил систему двух неизвестных ([math]x[/math] и [math]y[/math]) и решил ее. У меня получилось решение: [math]\sqrt{1+2i} = \pm\left\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}+\sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{5}}}i\right[/math]. Но те числа, которые получились, не дают в квадрате [math]1+2i[/math] Можете сказать, те шаги, которые я описал, я проделал правильно?
|
||
Вернуться к началу | ||
Hagrael |
|
|
Опишу подробнее, что я делал с системой.
[math](x+yi)^2=(x^2-y^2)+2xyi=1+2i[/math] [math]\left\{\begin{matrix}x^2-y^2=1\\xy=1\end{matrix}\right[/math] [math]\left\{\begin{matrix}y=\frac{1}{x}\\ x^2-\frac{1}{x^2}=1\end{matrix}\right[/math] [math]z=x^2[/math] [math]z-\frac{1}{z}=1[/math] [math]z^2-z-1=0[/math] [math]D=5[/math] [math]z_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}[/math] Так как [math]z \geqslant 0[/math], [math]z=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/math]. Отсюда [math]x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}[/math], [math]y=\pm\frac{2}{1+\sqrt{5}}[/math] Вот так я получил то комплексное число. Но оно почему-то в квадрате не дает [math]1+2i[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Hagrael
У Вас ошибка в определении [math]y[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: mad_math |
||
Hagrael |
|
|
Prokop, это я опечатался здесь, на форуме. На самом деле там еще корень над всем выражением. Если больше ошибок нет, то почему же тогда в квадрате это решение не дает то, что нужно?
mad_math, я знаю про формулу Муавра, но [math]\operatorname{arcctg}2[/math] - это некрасивый угол. Или есть какой-то другой способ вычисления корня, не узнавая угла? |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
[math]y = \pm \sqrt{\frac{2}{{\sqrt 5 + 1}}}= \pm \sqrt{\frac{{2\left({\sqrt 5 - 1}\right)}}{{\left({\sqrt 5 + 1}\right)\left({\sqrt 5 - 1}\right)}}}= \pm \sqrt{\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}}[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Hagrael, mad_math |
||
Hagrael |
|
|
Prokop, спасибо, так намного приятнее видеть эту дробь И теперь почему-то все решилось
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 8 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Корень из комплексного числа | 2 |
473 |
30 ноя 2015, 00:04 |
|
Корень из комплексного числа | 5 |
300 |
15 дек 2015, 18:22 |
|
Извлечь корень из комплексного числа
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
5 |
196 |
02 июн 2019, 22:34 |
|
Аргумент комплексного числа | 1 |
266 |
19 сен 2018, 18:51 |
|
Корни комплексного числа | 5 |
754 |
14 дек 2015, 13:52 |
|
Модуль комплексного числа | 10 |
757 |
14 мар 2018, 12:40 |
|
Область комплексного числа | 2 |
657 |
06 фев 2015, 17:17 |
|
Аргумент комплексного числа | 13 |
436 |
23 май 2020, 10:55 |
|
Аргумент комплексного числа | 8 |
307 |
01 мар 2022, 12:59 |
|
Тригонометрическая форма комплексного числа
в форуме Алгебра |
5 |
167 |
25 ноя 2021, 12:08 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |