Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Корень из комплексного числа
СообщениеДобавлено: 03 авг 2013, 13:29 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
04 дек 2011, 13:21
Сообщений: 110
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
19 раз в 17 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, математики! Прошу у вас помощи в решении вот такого комплексного уравнения:
[math]\gamma^2 = \frac{3}{2i-1}[/math]
Я его привел к виду:
[math]\gamma^2 = i^2\frac{3}{5}(1+2i)[/math]
Но вот потом немного застопорился. Я тут подумал над операцией взятия корня... В случае с вещественными числами корень дает нам положительное число, дающее в квадрате то, что мы записали под корнем. Но в случае комплексного числа, думаю, здесь корень имеет другой смысл. Думаю, здесь это неоднозначная функция, дающая сразу же много значений. Но вот могу ли я записать [math]\sqrt{abc} = \sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{c}[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Корень из комплексного числа
СообщениеДобавлено: 03 авг 2013, 13:48 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
04 дек 2011, 13:21
Сообщений: 110
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
19 раз в 17 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, понял, могу :) Теперь привожу это уравнение к виду [math]\gamma = \pm\sqrt{\frac{3}{5}} \sqrt{1+2i}[/math]. И теперь остается найти корень из [math]1+2i[/math]. Хотелось бы красиво найти его через тригонометрическую форму записи комплексного числа, но там не получаются красивые углы. Так что я попробовал найти этот корень через обычную форму записи, составил уравнение [math](x+yi)^2=1+2i[/math], далее получил систему двух неизвестных ([math]x[/math] и [math]y[/math]) и решил ее. У меня получилось решение: [math]\sqrt{1+2i} = \pm\left\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}+\sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{5}}}i\right[/math]. Но те числа, которые получились, не дают в квадрате [math]1+2i[/math] :unknown: Можете сказать, те шаги, которые я описал, я проделал правильно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Корень из комплексного числа
СообщениеДобавлено: 03 авг 2013, 14:00 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
04 дек 2011, 13:21
Сообщений: 110
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
19 раз в 17 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Опишу подробнее, что я делал с системой.
[math](x+yi)^2=(x^2-y^2)+2xyi=1+2i[/math]
[math]\left\{\begin{matrix}x^2-y^2=1\\xy=1\end{matrix}\right[/math]
[math]\left\{\begin{matrix}y=\frac{1}{x}\\ x^2-\frac{1}{x^2}=1\end{matrix}\right[/math]
[math]z=x^2[/math]
[math]z-\frac{1}{z}=1[/math]
[math]z^2-z-1=0[/math]
[math]D=5[/math]
[math]z_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}[/math]
Так как [math]z \geqslant 0[/math], [math]z=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/math].
Отсюда [math]x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}[/math], [math]y=\pm\frac{2}{1+\sqrt{5}}[/math]
Вот так я получил то комплексное число. Но оно почему-то в квадрате не дает [math]1+2i[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Корень из комплексного числа
СообщениеДобавлено: 03 авг 2013, 19:04 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Корень из комплексного числа
СообщениеДобавлено: 03 авг 2013, 21:44 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Hagrael
У Вас ошибка в определении [math]y[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Корень из комплексного числа
СообщениеДобавлено: 04 авг 2013, 16:35 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
04 дек 2011, 13:21
Сообщений: 110
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
19 раз в 17 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop, это я опечатался здесь, на форуме. На самом деле там еще корень над всем выражением. Если больше ошибок нет, то почему же тогда в квадрате это решение не дает то, что нужно?
mad_math, я знаю про формулу Муавра, но [math]\operatorname{arcctg}2[/math] - это некрасивый угол. Или есть какой-то другой способ вычисления корня, не узнавая угла?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Корень из комплексного числа
СообщениеДобавлено: 04 авг 2013, 18:50 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]y = \pm \sqrt{\frac{2}{{\sqrt 5 + 1}}}= \pm \sqrt{\frac{{2\left({\sqrt 5 - 1}\right)}}{{\left({\sqrt 5 + 1}\right)\left({\sqrt 5 - 1}\right)}}}= \pm \sqrt{\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Hagrael, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Корень из комплексного числа
СообщениеДобавлено: 05 авг 2013, 08:00 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
04 дек 2011, 13:21
Сообщений: 110
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
19 раз в 17 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop, спасибо, так намного приятнее видеть эту дробь :) И теперь почему-то все решилось :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Корень из комплексного числа

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Easy4G

2

473

30 ноя 2015, 00:04

Корень из комплексного числа

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

scream_112

5

300

15 дек 2015, 18:22

Извлечь корень из комплексного числа

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

NoManWith

5

196

02 июн 2019, 22:34

Аргумент комплексного числа

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Miu-Miu

1

266

19 сен 2018, 18:51

Корни комплексного числа

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

rfgbnfkbyf

5

754

14 дек 2015, 13:52

Модуль комплексного числа

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

olegblef

10

757

14 мар 2018, 12:40

Область комплексного числа

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Isabella

2

657

06 фев 2015, 17:17

Аргумент комплексного числа

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Alina20092009

13

436

23 май 2020, 10:55

Аргумент комплексного числа

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Evgenii123456

8

307

01 мар 2022, 12:59

Тригонометрическая форма комплексного числа

в форуме Алгебра

Leronaa

5

167

25 ноя 2021, 12:08


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved